Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101179 / 99136
↖ ↑ ↗
← S 67.407487°
E 97.896423°		 ← 117.34 m → S 67.407487°
E 97.899170°		 →
↑
117.35 m
↓
↑
117.35 m
↓
S 67.408542°
E 97.896423°		 ← 117.33 m →
13 770 m²		 S 67.408542°
E 97.899170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771938323974609 y=0.756351470947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771938323974609 × 217)
    floor (0.771938323974609 × 131072)
    floor (101179.5)     		tx = 101179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756351470947266 × 217)
    floor (0.756351470947266 × 131072)
    floor (99136.5)     		ty = 99136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101179 / 99136 ti = "17/101179/99136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101179/99136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101179 ÷ 217
    101179 ÷ 131072     		x = 0.771934509277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99136 ÷ 217
    99136 ÷ 131072     		y = 0.75634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771934509277344 × 2 - 1) × π
    0.543869018554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.70861491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75634765625 × 2 - 1) × π
    -0.5126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61067982723389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70861491} λ = 1.70861491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61067982723389))-π/2
    2×atan(0.199751771211451)-π/2
    2×0.197156866932644-π/2
    0.394313733865289-1.57079632675     		φ = -1.17648259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70861491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.896423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17648259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.407487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101179 KachelY 99136 1.70861491 -1.17648259 97.896423 -67.407487
    Oben rechts KachelX + 1 101180 KachelY 99136 1.70866285 -1.17648259 97.899170 -67.407487
    Unten links KachelX 101179 KachelY + 1 99137 1.70861491 -1.17650101 97.896423 -67.408542
    Unten rechts KachelX + 1 101180 KachelY + 1 99137 1.70866285 -1.17650101 97.899170 -67.408542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17648259--1.17650101) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dl = 117.353819999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17648259--1.17650101) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dr = 117.353819999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70861491-1.70866285) × cos(-1.17648259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384174679663317 × 6371000     		do = 117.336835825355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70861491-1.70866285) × cos(-1.17650101) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384157673141084 × 6371000     		du = 117.331641595717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17648259)-sin(-1.17650101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384174679663317-0.384157673141084)×R²
    abs(1.70866285-1.70861491)×1.70065222333537e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70065222333537e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70065222333537e-05×40589641000000     		ar = 13769.6211298558m²