Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101179 / 98125
↖ ↑ ↗
← S 66.316552°
E 97.896423°		 ← 122.68 m → S 66.316552°
E 97.899170°		 →
↑
122.64 m
↓
↑
122.64 m
↓
S 66.317655°
E 97.896423°		 ← 122.68 m →
15 046 m²		 S 66.317655°
E 97.899170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771938323974609 y=0.748638153076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771938323974609 × 217)
    floor (0.771938323974609 × 131072)
    floor (101179.5)     		tx = 101179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748638153076172 × 217)
    floor (0.748638153076172 × 131072)
    floor (98125.5)     		ty = 98125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101179 / 98125 ti = "17/101179/98125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101179/98125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101179 ÷ 217
    101179 ÷ 131072     		x = 0.771934509277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98125 ÷ 217
    98125 ÷ 131072     		y = 0.748634338378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771934509277344 × 2 - 1) × π
    0.543869018554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.70861491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748634338378906 × 2 - 1) × π
    -0.497268676757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.56221562171801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70861491} λ = 1.70861491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56221562171801))-π/2
    2×atan(0.209671004553807)-π/2
    2×0.206677073822665-π/2
    0.413354147645331-1.57079632675     		φ = -1.15744218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70861491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.896423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15744218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.316552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101179 KachelY 98125 1.70861491 -1.15744218 97.896423 -66.316552
    Oben rechts KachelX + 1 101180 KachelY 98125 1.70866285 -1.15744218 97.899170 -66.316552
    Unten links KachelX 101179 KachelY + 1 98126 1.70861491 -1.15746143 97.896423 -66.317655
    Unten rechts KachelX + 1 101180 KachelY + 1 98126 1.70866285 -1.15746143 97.899170 -66.317655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15744218--1.15746143) × R
    1.92499999998041e-05 × 6371000     		dl = 122.641749998752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15744218--1.15746143) × R
    1.92499999998041e-05 × 6371000     		dr = 122.641749998752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70861491-1.70866285) × cos(-1.15744218) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401683237849556 × 6371000     		do = 122.684400165716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70861491-1.70866285) × cos(-1.15746143) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401665609035693 × 6371000     		du = 122.679015872197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15744218)-sin(-1.15746143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401683237849556-0.401665609035693)×R²
    abs(1.70866285-1.70861491)×1.76288138626912e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76288138626912e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76288138626912e-05×40589641000000     		ar = 15045.8993648642m²