Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101179 / 98106
↖ ↑ ↗
← S 66.295581°
E 97.896423°		 ← 122.79 m → S 66.295581°
E 97.899170°		 →
↑
122.77 m
↓
↑
122.77 m
↓
S 66.296685°
E 97.896423°		 ← 122.78 m →
15 074 m²		 S 66.296685°
E 97.899170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771938323974609 y=0.748493194580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771938323974609 × 217)
    floor (0.771938323974609 × 131072)
    floor (101179.5)     		tx = 101179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748493194580078 × 217)
    floor (0.748493194580078 × 131072)
    floor (98106.5)     		ty = 98106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101179 / 98106 ti = "17/101179/98106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101179/98106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101179 ÷ 217
    101179 ÷ 131072     		x = 0.771934509277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98106 ÷ 217
    98106 ÷ 131072     		y = 0.748489379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771934509277344 × 2 - 1) × π
    0.543869018554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.70861491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748489379882812 × 2 - 1) × π
    -0.496978759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56130482062523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70861491} λ = 1.70861491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56130482062523))-π/2
    2×atan(0.209862060127484)-π/2
    2×0.206860076895039-π/2
    0.413720153790077-1.57079632675     		φ = -1.15707617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70861491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.896423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15707617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.295581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101179 KachelY 98106 1.70861491 -1.15707617 97.896423 -66.295581
    Oben rechts KachelX + 1 101180 KachelY 98106 1.70866285 -1.15707617 97.899170 -66.295581
    Unten links KachelX 101179 KachelY + 1 98107 1.70861491 -1.15709544 97.896423 -66.296685
    Unten rechts KachelX + 1 101180 KachelY + 1 98107 1.70866285 -1.15709544 97.899170 -66.296685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15707617--1.15709544) × R
    1.92699999999046e-05 × 6371000     		dl = 122.769169999392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15707617--1.15709544) × R
    1.92699999999046e-05 × 6371000     		dr = 122.769169999392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70861491-1.70866285) × cos(-1.15707617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402018395088469 × 6371000     		do = 122.786765813428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70861491-1.70866285) × cos(-1.15709544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402000750793075 × 6371000     		du = 122.78137679145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15707617)-sin(-1.15709544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402018395088469-0.402000750793075)×R²
    abs(1.70866285-1.70861491)×1.76442953942479e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76442953942479e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76442953942479e-05×40589641000000     		ar = 15074.0985234555m²