Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101178 / 97976
↖ ↑ ↗
← S 66.151628°
E 97.893677°		 ← 123.46 m → S 66.151628°
E 97.896423°		 →
↑
123.47 m
↓
↑
123.47 m
↓
S 66.152739°
E 97.893677°		 ← 123.46 m →
15 244 m²		 S 66.152739°
E 97.896423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771930694580078 y=0.747501373291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771930694580078 × 217)
    floor (0.771930694580078 × 131072)
    floor (101178.5)     		tx = 101178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747501373291016 × 217)
    floor (0.747501373291016 × 131072)
    floor (97976.5)     		ty = 97976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101178 / 97976 ti = "17/101178/97976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101178/97976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101178 ÷ 217
    101178 ÷ 131072     		x = 0.771926879882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97976 ÷ 217
    97976 ÷ 131072     		y = 0.74749755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771926879882812 × 2 - 1) × π
    0.543853759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70856698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.4949951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55507302367462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70856698} λ = 1.70856698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55507302367462))-π/2
    2×atan(0.211173961379275)-π/2
    2×0.208116304703215-π/2
    0.416232609406429-1.57079632675     		φ = -1.15456372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70856698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.893677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15456372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.151628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101178 KachelY 97976 1.70856698 -1.15456372 97.893677 -66.151628
    Oben rechts KachelX + 1 101179 KachelY 97976 1.70861491 -1.15456372 97.896423 -66.151628
    Unten links KachelX 101178 KachelY + 1 97977 1.70856698 -1.15458310 97.893677 -66.152739
    Unten rechts KachelX + 1 101179 KachelY + 1 97977 1.70861491 -1.15458310 97.896423 -66.152739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15456372--1.15458310) × R
    1.93799999999023e-05 × 6371000     		dl = 123.469979999377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15456372--1.15458310) × R
    1.93799999999023e-05 × 6371000     		dr = 123.469979999377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70856698-1.70861491) × cos(-1.15456372) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404317602407637 × 6371000     		do = 123.463243836005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70856698-1.70861491) × cos(-1.15458310) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404299877022258 × 6371000     		du = 123.457831176343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15456372)-sin(-1.15458310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404317602407637-0.404299877022258)×R²
    abs(1.70861491-1.70856698)×1.77253853789194e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77253853789194e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77253853789194e-05×40589641000000     		ar = 15243.6700969127m²