Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101178 / 96962
↖ ↑ ↗
← S 65.000261°
E 97.893677°		 ← 129.05 m → S 65.000261°
E 97.896423°		 →
↑
129.01 m
↓
↑
129.01 m
↓
S 65.001421°
E 97.893677°		 ← 129.04 m →
16 649 m²		 S 65.001421°
E 97.896423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771930694580078 y=0.739765167236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771930694580078 × 217)
    floor (0.771930694580078 × 131072)
    floor (101178.5)     		tx = 101178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739765167236328 × 217)
    floor (0.739765167236328 × 131072)
    floor (96962.5)     		ty = 96962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101178 / 96962 ti = "17/101178/96962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101178/96962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101178 ÷ 217
    101178 ÷ 131072     		x = 0.771926879882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96962 ÷ 217
    96962 ÷ 131072     		y = 0.739761352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771926879882812 × 2 - 1) × π
    0.543853759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70856698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739761352539062 × 2 - 1) × π
    -0.479522705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50646500745988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70856698} λ = 1.70856698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50646500745988))-π/2
    2×atan(0.221692274975917)-π/2
    2×0.218163880684024-π/2
    0.436327761368048-1.57079632675     		φ = -1.13446857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70856698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.893677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13446857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.000261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101178 KachelY 96962 1.70856698 -1.13446857 97.893677 -65.000261
    Oben rechts KachelX + 1 101179 KachelY 96962 1.70861491 -1.13446857 97.896423 -65.000261
    Unten links KachelX 101178 KachelY + 1 96963 1.70856698 -1.13448882 97.893677 -65.001421
    Unten rechts KachelX + 1 101179 KachelY + 1 96963 1.70861491 -1.13448882 97.896423 -65.001421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13446857--1.13448882) × R
    2.0250000000166e-05 × 6371000     		dl = 129.012750001057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13446857--1.13448882) × R
    2.0250000000166e-05 × 6371000     		dr = 129.012750001057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70856698-1.70861491) × cos(-1.13446857) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422614132413433 × 6371000     		do = 129.050309380534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70856698-1.70861491) × cos(-1.13448882) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422595779555106 × 6371000     		du = 129.044705114459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13446857)-sin(-1.13448882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422614132413433-0.422595779555106)×R²
    abs(1.70861491-1.70856698)×1.83528583273529e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83528583273529e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83528583273529e-05×40589641000000     		ar = 16648.7737915138m²