Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101176 / 98089
↖ ↑ ↗
← S 66.276803°
E 97.888183°		 ← 122.88 m → S 66.276803°
E 97.890930°		 →
↑
122.90 m
↓
↑
122.90 m
↓
S 66.277908°
E 97.888183°		 ← 122.87 m →
15 101 m²		 S 66.277908°
E 97.890930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771915435791016 y=0.748363494873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771915435791016 × 217)
    floor (0.771915435791016 × 131072)
    floor (101176.5)     		tx = 101176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748363494873047 × 217)
    floor (0.748363494873047 × 131072)
    floor (98089.5)     		ty = 98089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101176 / 98089 ti = "17/101176/98089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101176/98089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101176 ÷ 217
    101176 ÷ 131072     		x = 0.77191162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98089 ÷ 217
    98089 ÷ 131072     		y = 0.748359680175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77191162109375 × 2 - 1) × π
    0.5438232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70847110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748359680175781 × 2 - 1) × π
    -0.496719360351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.56048989333169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70847110} λ = 1.70847110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56048989333169))-π/2
    2×atan(0.210033152152472)-π/2
    2×0.207023945902043-π/2
    0.414047891804085-1.57079632675     		φ = -1.15674843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70847110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.888183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15674843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.276803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101176 KachelY 98089 1.70847110 -1.15674843 97.888183 -66.276803
    Oben rechts KachelX + 1 101177 KachelY 98089 1.70851904 -1.15674843 97.890930 -66.276803
    Unten links KachelX 101176 KachelY + 1 98090 1.70847110 -1.15676772 97.888183 -66.277908
    Unten rechts KachelX + 1 101177 KachelY + 1 98090 1.70851904 -1.15676772 97.890930 -66.277908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15674843--1.15676772) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dl = 122.896590000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15674843--1.15676772) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dr = 122.896590000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70847110-1.70851904) × cos(-1.15674843) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.402318462589553 × 6371000     		do = 122.878414152565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70847110-1.70851904) × cos(-1.15676772) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.402300802523866 × 6371000     		du = 122.873020313934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15674843)-sin(-1.15676772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402318462589553-0.402300802523866)×R²
    abs(1.70851904-1.70847110)×1.76600656860981e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.76600656860981e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.76600656860981e-05×40589641000000     		ar = 15101.006642247m²