Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101174 / 98098
↖ ↑ ↗
← S 66.286746°
E 97.882691°		 ← 122.83 m → S 66.286746°
E 97.885437°		 →
↑
122.83 m
↓
↑
122.83 m
↓
S 66.287851°
E 97.882691°		 ← 122.82 m →
15 087 m²		 S 66.287851°
E 97.885437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771900177001953 y=0.748432159423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771900177001953 × 217)
    floor (0.771900177001953 × 131072)
    floor (101174.5)     		tx = 101174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748432159423828 × 217)
    floor (0.748432159423828 × 131072)
    floor (98098.5)     		ty = 98098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101174 / 98098 ti = "17/101174/98098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101174/98098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101174 ÷ 217
    101174 ÷ 131072     		x = 0.771896362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98098 ÷ 217
    98098 ÷ 131072     		y = 0.748428344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771896362304688 × 2 - 1) × π
    0.543792724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70837523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748428344726562 × 2 - 1) × π
    -0.496856689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56092132542827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70837523} λ = 1.70837523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56092132542827))-π/2
    2×atan(0.209942556653596)-π/2
    2×0.206937176491605-π/2
    0.41387435298321-1.57079632675     		φ = -1.15692197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70837523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.882691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15692197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.286746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101174 KachelY 98098 1.70837523 -1.15692197 97.882691 -66.286746
    Oben rechts KachelX + 1 101175 KachelY 98098 1.70842317 -1.15692197 97.885437 -66.286746
    Unten links KachelX 101174 KachelY + 1 98099 1.70837523 -1.15694125 97.882691 -66.287851
    Unten rechts KachelX + 1 101175 KachelY + 1 98099 1.70842317 -1.15694125 97.885437 -66.287851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15692197--1.15694125) × R
    1.92800000000659e-05 × 6371000     		dl = 122.83288000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15692197--1.15694125) × R
    1.92800000000659e-05 × 6371000     		dr = 122.83288000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70837523-1.70842317) × cos(-1.15692197) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.402159580699682 × 6371000     		do = 122.829887533778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70837523-1.70842317) × cos(-1.15694125) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.402141928443269 × 6371000     		du = 122.824496080301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15692197)-sin(-1.15694125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402159580699682-0.402141928443269)×R²
    abs(1.70842317-1.70837523)×1.76522564130921e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.76522564130921e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.76522564130921e-05×40589641000000     		ar = 15087.2177123927m²