Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101174 / 96842
↖ ↑ ↗
← S 64.860608°
E 97.882691°		 ← 129.75 m → S 64.860608°
E 97.885437°		 →
↑
129.78 m
↓
↑
129.78 m
↓
S 64.861775°
E 97.882691°		 ← 129.75 m →
16 838 m²		 S 64.861775°
E 97.885437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771900177001953 y=0.738849639892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771900177001953 × 217)
    floor (0.771900177001953 × 131072)
    floor (101174.5)     		tx = 101174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738849639892578 × 217)
    floor (0.738849639892578 × 131072)
    floor (96842.5)     		ty = 96842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101174 / 96842 ti = "17/101174/96842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101174/96842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101174 ÷ 217
    101174 ÷ 131072     		x = 0.771896362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96842 ÷ 217
    96842 ÷ 131072     		y = 0.738845825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771896362304688 × 2 - 1) × π
    0.543792724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70837523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738845825195312 × 2 - 1) × π
    -0.477691650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50071257950548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70837523} λ = 1.70837523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50071257950548))-π/2
    2×atan(0.222971218805151)-π/2
    2×0.219382582247077-π/2
    0.438765164494155-1.57079632675     		φ = -1.13203116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70837523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.882691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13203116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.860608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101174 KachelY 96842 1.70837523 -1.13203116 97.882691 -64.860608
    Oben rechts KachelX + 1 101175 KachelY 96842 1.70842317 -1.13203116 97.885437 -64.860608
    Unten links KachelX 101174 KachelY + 1 96843 1.70837523 -1.13205153 97.882691 -64.861775
    Unten rechts KachelX + 1 101175 KachelY + 1 96843 1.70842317 -1.13205153 97.885437 -64.861775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13203116--1.13205153) × R
    2.03700000001028e-05 × 6371000     		dl = 129.777270000655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13203116--1.13205153) × R
    2.03700000001028e-05 × 6371000     		dr = 129.777270000655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70837523-1.70842317) × cos(-1.13203116) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.424821923214823 × 6371000     		do = 129.751550266626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70837523-1.70842317) × cos(-1.13205153) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.42480348263547 × 6371000     		du = 129.745918039031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13203116)-sin(-1.13205153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424821923214823-0.42480348263547)×R²
    abs(1.70842317-1.70837523)×1.84405793526854e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.84405793526854e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.84405793526854e-05×40589641000000     		ar = 16838.4365050706m²