Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101172 / 96975
↖ ↑ ↗
← S 65.015346°
E 97.877197°		 ← 129 m → S 65.015346°
E 97.879944°		 →
↑
128.95 m
↓
↑
128.95 m
↓
S 65.016506°
E 97.877197°		 ← 129 m →
16 635 m²		 S 65.016506°
E 97.879944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771884918212891 y=0.739864349365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771884918212891 × 217)
    floor (0.771884918212891 × 131072)
    floor (101172.5)     		tx = 101172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739864349365234 × 217)
    floor (0.739864349365234 × 131072)
    floor (96975.5)     		ty = 96975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101172 / 96975 ti = "17/101172/96975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101172/96975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101172 ÷ 217
    101172 ÷ 131072     		x = 0.771881103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96975 ÷ 217
    96975 ÷ 131072     		y = 0.739860534667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771881103515625 × 2 - 1) × π
    0.54376220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70827935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739860534667969 × 2 - 1) × π
    -0.479721069335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.50708818715495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70827935} λ = 1.70827935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50708818715495))-π/2
    2×atan(0.221554163890082)-π/2
    2×0.218032235590838-π/2
    0.436064471181675-1.57079632675     		φ = -1.13473186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70827935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.877197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13473186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.015346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101172 KachelY 96975 1.70827935 -1.13473186 97.877197 -65.015346
    Oben rechts KachelX + 1 101173 KachelY 96975 1.70832729 -1.13473186 97.879944 -65.015346
    Unten links KachelX 101172 KachelY + 1 96976 1.70827935 -1.13475210 97.877197 -65.016506
    Unten rechts KachelX + 1 101173 KachelY + 1 96976 1.70832729 -1.13475210 97.879944 -65.016506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13473186--1.13475210) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dl = 128.94904000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13473186--1.13475210) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dr = 128.94904000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70827935-1.70832729) × cos(-1.13473186) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422375495483821 × 6371000     		do = 129.004348265928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70827935-1.70832729) × cos(-1.13475210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422357149437254 × 6371000     		du = 128.998744911079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13473186)-sin(-1.13475210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422375495483821-0.422357149437254)×R²
    abs(1.70832729-1.70827935)×1.83460465661422e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83460465661422e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83460465661422e-05×40589641000000     		ar = 16634.6255917813m²