Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101171 / 96855
↖ ↑ ↗
← S 64.875772°
E 97.874451°		 ← 129.65 m → S 64.875772°
E 97.877197°		 →
↑
129.65 m
↓
↑
129.65 m
↓
S 64.876938°
E 97.874451°		 ← 129.65 m →
16 809 m²		 S 64.876938°
E 97.877197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771877288818359 y=0.738948822021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771877288818359 × 217)
    floor (0.771877288818359 × 131072)
    floor (101171.5)     		tx = 101171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738948822021484 × 217)
    floor (0.738948822021484 × 131072)
    floor (96855.5)     		ty = 96855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101171 / 96855 ti = "17/101171/96855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101171/96855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101171 ÷ 217
    101171 ÷ 131072     		x = 0.771873474121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96855 ÷ 217
    96855 ÷ 131072     		y = 0.738945007324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771873474121094 × 2 - 1) × π
    0.543746948242188 × 3.1415926535     		Λ = 1.70823142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738945007324219 × 2 - 1) × π
    -0.477890014648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.50133575920054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70823142} λ = 1.70823142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50133575920054))-π/2
    2×atan(0.22283231095578)-π/2
    2×0.219250249382306-π/2
    0.438500498764612-1.57079632675     		φ = -1.13229583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70823142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.874451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13229583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.875772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101171 KachelY 96855 1.70823142 -1.13229583 97.874451 -64.875772
    Oben rechts KachelX + 1 101172 KachelY 96855 1.70827935 -1.13229583 97.877197 -64.875772
    Unten links KachelX 101171 KachelY + 1 96856 1.70823142 -1.13231618 97.874451 -64.876938
    Unten rechts KachelX + 1 101172 KachelY + 1 96856 1.70827935 -1.13231618 97.877197 -64.876938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13229583--1.13231618) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dl = 129.649850000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13229583--1.13231618) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dr = 129.649850000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70823142-1.70827935) × cos(-1.13229583) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.424582308691142 × 6371000     		do = 129.651315684093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70823142-1.70827935) × cos(-1.13231618) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.42456388393009 × 6371000     		du = 129.645689461656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13229583)-sin(-1.13231618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424582308691142-0.42456388393009)×R²
    abs(1.70827935-1.70823142)×1.84247610515165e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84247610515165e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84247610515165e-05×40589641000000     		ar = 16808.9089118861m²