Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101170 / 98130
↖ ↑ ↗
← S 66.322068°
E 97.871704°		 ← 122.66 m → S 66.322068°
E 97.874451°		 →
↑
122.64 m
↓
↑
122.64 m
↓
S 66.323171°
E 97.871704°		 ← 122.65 m →
15 043 m²		 S 66.323171°
E 97.874451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771869659423828 y=0.748676300048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771869659423828 × 217)
    floor (0.771869659423828 × 131072)
    floor (101170.5)     		tx = 101170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748676300048828 × 217)
    floor (0.748676300048828 × 131072)
    floor (98130.5)     		ty = 98130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101170 / 98130 ti = "17/101170/98130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101170/98130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101170 ÷ 217
    101170 ÷ 131072     		x = 0.771865844726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98130 ÷ 217
    98130 ÷ 131072     		y = 0.748672485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771865844726562 × 2 - 1) × π
    0.543731689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70818348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748672485351562 × 2 - 1) × π
    -0.497344970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56245530621611
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70818348} λ = 1.70818348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56245530621611))-π/2
    2×atan(0.209620755686492)-π/2
    2×0.206628940482795-π/2
    0.41325788096559-1.57079632675     		φ = -1.15753845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70818348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.871704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15753845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.322068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101170 KachelY 98130 1.70818348 -1.15753845 97.871704 -66.322068
    Oben rechts KachelX + 1 101171 KachelY 98130 1.70823142 -1.15753845 97.874451 -66.322068
    Unten links KachelX 101170 KachelY + 1 98131 1.70818348 -1.15755770 97.871704 -66.323171
    Unten rechts KachelX + 1 101171 KachelY + 1 98131 1.70823142 -1.15755770 97.874451 -66.323171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15753845--1.15755770) × R
    1.92499999998041e-05 × 6371000     		dl = 122.641749998752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15753845--1.15755770) × R
    1.92499999998041e-05 × 6371000     		dr = 122.641749998752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70818348-1.70823142) × cos(-1.15753845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401595073975538 × 6371000     		do = 122.657472649253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70818348-1.70823142) × cos(-1.15755770) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401577444417375 × 6371000     		du = 122.652088128405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15753845)-sin(-1.15755770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401595073975538-0.401577444417375)×R²
    abs(1.70823142-1.70818348)×1.76295581630348e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76295581630348e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76295581630348e-05×40589641000000     		ar = 15042.5969129549m²