Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101169 / 98099
↖ ↑ ↗
← S 66.287851°
E 97.868957°		 ← 122.82 m → S 66.287851°
E 97.871704°		 →
↑
122.83 m
↓
↑
122.83 m
↓
S 66.288955°
E 97.868957°		 ← 122.82 m →
15 087 m²		 S 66.288955°
E 97.871704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771862030029297 y=0.748439788818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771862030029297 × 217)
    floor (0.771862030029297 × 131072)
    floor (101169.5)     		tx = 101169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748439788818359 × 217)
    floor (0.748439788818359 × 131072)
    floor (98099.5)     		ty = 98099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101169 / 98099 ti = "17/101169/98099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101169/98099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101169 ÷ 217
    101169 ÷ 131072     		x = 0.771858215332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98099 ÷ 217
    98099 ÷ 131072     		y = 0.748435974121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771858215332031 × 2 - 1) × π
    0.543716430664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.70813554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748435974121094 × 2 - 1) × π
    -0.496871948242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.56096926232789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70813554} λ = 1.70813554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56096926232789))-π/2
    2×atan(0.209932492899546)-π/2
    2×0.206927537561489-π/2
    0.413855075122979-1.57079632675     		φ = -1.15694125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70813554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.868957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15694125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.287851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101169 KachelY 98099 1.70813554 -1.15694125 97.868957 -66.287851
    Oben rechts KachelX + 1 101170 KachelY 98099 1.70818348 -1.15694125 97.871704 -66.287851
    Unten links KachelX 101169 KachelY + 1 98100 1.70813554 -1.15696053 97.868957 -66.288955
    Unten rechts KachelX + 1 101170 KachelY + 1 98100 1.70818348 -1.15696053 97.871704 -66.288955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15694125--1.15696053) × R
    1.92800000000659e-05 × 6371000     		dl = 122.83288000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15694125--1.15696053) × R
    1.92800000000659e-05 × 6371000     		dr = 122.83288000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70813554-1.70818348) × cos(-1.15694125) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402141928443269 × 6371000     		do = 122.824496079732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70813554-1.70818348) × cos(-1.15696053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402124276037372 × 6371000     		du = 122.819104580598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15694125)-sin(-1.15696053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402141928443269-0.402124276037372)×R²
    abs(1.70818348-1.70813554)×1.76524058966843e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76524058966843e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76524058966843e-05×40589641000000     		ar = 15086.5554619065m²