Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101169 / 96976
↖ ↑ ↗
← S 65.016506°
E 97.868957°		 ← 129 m → S 65.016506°
E 97.871704°		 →
↑
129.01 m
↓
↑
129.01 m
↓
S 65.017666°
E 97.868957°		 ← 128.99 m →
16 642 m²		 S 65.017666°
E 97.871704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771862030029297 y=0.739871978759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771862030029297 × 217)
    floor (0.771862030029297 × 131072)
    floor (101169.5)     		tx = 101169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739871978759766 × 217)
    floor (0.739871978759766 × 131072)
    floor (96976.5)     		ty = 96976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101169 / 96976 ti = "17/101169/96976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101169/96976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101169 ÷ 217
    101169 ÷ 131072     		x = 0.771858215332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96976 ÷ 217
    96976 ÷ 131072     		y = 0.7398681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771858215332031 × 2 - 1) × π
    0.543716430664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.70813554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7398681640625 × 2 - 1) × π
    -0.479736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50713612405457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70813554} λ = 1.70813554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50713612405457))-π/2
    2×atan(0.221543543524923)-π/2
    2×0.218022112124818-π/2
    0.436044224249635-1.57079632675     		φ = -1.13475210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70813554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.868957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13475210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.016506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101169 KachelY 96976 1.70813554 -1.13475210 97.868957 -65.016506
    Oben rechts KachelX + 1 101170 KachelY 96976 1.70818348 -1.13475210 97.871704 -65.016506
    Unten links KachelX 101169 KachelY + 1 96977 1.70813554 -1.13477235 97.868957 -65.017666
    Unten rechts KachelX + 1 101170 KachelY + 1 96977 1.70818348 -1.13477235 97.871704 -65.017666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13475210--1.13477235) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dl = 129.012749999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13475210--1.13477235) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dr = 129.012749999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70813554-1.70818348) × cos(-1.13475210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422357149437254 × 6371000     		do = 128.998744911079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70813554-1.70818348) × cos(-1.13477235) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422338794153286 × 6371000     		du = 128.99313873489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13475210)-sin(-1.13477235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422357149437254-0.422338794153286)×R²
    abs(1.70818348-1.70813554)×1.83552839684298e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83552839684298e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83552839684298e-05×40589641000000     		ar = 16642.1211938309m²