Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101167 / 98127
↖ ↑ ↗
← S 66.318758°
E 97.863464°		 ← 122.67 m → S 66.318758°
E 97.866211°		 →
↑
122.64 m
↓
↑
122.64 m
↓
S 66.319861°
E 97.863464°		 ← 122.67 m →
15 045 m²		 S 66.319861°
E 97.866211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771846771240234 y=0.748653411865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771846771240234 × 217)
    floor (0.771846771240234 × 131072)
    floor (101167.5)     		tx = 101167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748653411865234 × 217)
    floor (0.748653411865234 × 131072)
    floor (98127.5)     		ty = 98127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101167 / 98127 ti = "17/101167/98127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101167/98127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101167 ÷ 217
    101167 ÷ 131072     		x = 0.771842956542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98127 ÷ 217
    98127 ÷ 131072     		y = 0.748649597167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771842956542969 × 2 - 1) × π
    0.543685913085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.70803967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748649597167969 × 2 - 1) × π
    -0.497299194335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.56231149551725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70803967} λ = 1.70803967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56231149551725))-π/2
    2×atan(0.209650903561604)-π/2
    2×0.206657819218863-π/2
    0.413315638437725-1.57079632675     		φ = -1.15748069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70803967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.863464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15748069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.318758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101167 KachelY 98127 1.70803967 -1.15748069 97.863464 -66.318758
    Oben rechts KachelX + 1 101168 KachelY 98127 1.70808761 -1.15748069 97.866211 -66.318758
    Unten links KachelX 101167 KachelY + 1 98128 1.70803967 -1.15749994 97.863464 -66.319861
    Unten rechts KachelX + 1 101168 KachelY + 1 98128 1.70808761 -1.15749994 97.866211 -66.319861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15748069--1.15749994) × R
    1.92499999998041e-05 × 6371000     		dl = 122.641749998752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15748069--1.15749994) × R
    1.92499999998041e-05 × 6371000     		dr = 122.641749998752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70803967-1.70808761) × cos(-1.15748069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401647970915047 × 6371000     		do = 122.673628736146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70803967-1.70808761) × cos(-1.15749994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401630341803429 × 6371000     		du = 122.668244351685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15748069)-sin(-1.15749994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401647970915047-0.401630341803429)×R²
    abs(1.70808761-1.70803967)×1.76291116179006e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76291116179006e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76291116179006e-05×40589641000000     		ar = 15044.5783322522m²