Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101166 / 99167
↖ ↑ ↗
← S 67.440175°
E 97.860718°		 ← 117.18 m → S 67.440175°
E 97.863464°		 →
↑
117.16 m
↓
↑
117.16 m
↓
S 67.441229°
E 97.860718°		 ← 117.17 m →
13 728 m²		 S 67.441229°
E 97.863464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771839141845703 y=0.756587982177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771839141845703 × 217)
    floor (0.771839141845703 × 131072)
    floor (101166.5)     		tx = 101166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756587982177734 × 217)
    floor (0.756587982177734 × 131072)
    floor (99167.5)     		ty = 99167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101166 / 99167 ti = "17/101166/99167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101166/99167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101166 ÷ 217
    101166 ÷ 131072     		x = 0.771835327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99167 ÷ 217
    99167 ÷ 131072     		y = 0.756584167480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771835327148438 × 2 - 1) × π
    0.543670654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70799173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756584167480469 × 2 - 1) × π
    -0.513168334960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.61216587112211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70799173} λ = 1.70799173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61216587112211))-π/2
    2×atan(0.199455151762026)-π/2
    2×0.196871612462882-π/2
    0.393743224925765-1.57079632675     		φ = -1.17705310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70799173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.860718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17705310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.440175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101166 KachelY 99167 1.70799173 -1.17705310 97.860718 -67.440175
    Oben rechts KachelX + 1 101167 KachelY 99167 1.70803967 -1.17705310 97.863464 -67.440175
    Unten links KachelX 101166 KachelY + 1 99168 1.70799173 -1.17707149 97.860718 -67.441229
    Unten rechts KachelX + 1 101167 KachelY + 1 99168 1.70803967 -1.17707149 97.863464 -67.441229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17705310--1.17707149) × R
    1.83900000001458e-05 × 6371000     		dl = 117.162690000929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17705310--1.17707149) × R
    1.83900000001458e-05 × 6371000     		dr = 117.162690000929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70799173-1.70803967) × cos(-1.17705310) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383647887864951 × 6371000     		do = 117.175940050513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70799173-1.70803967) × cos(-1.17707149) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383630905012957 × 6371000     		du = 117.170753050375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17705310)-sin(-1.17707149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383647887864951-0.383630905012957)×R²
    abs(1.70803967-1.70799173)×1.69828519934745e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69828519934745e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69828519934745e-05×40589641000000     		ar = 13728.3444786023m²