Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101165 / 97963
↖ ↑ ↗
← S 66.137188°
E 97.857971°		 ← 123.53 m → S 66.137188°
E 97.860718°		 →
↑
123.60 m
↓
↑
123.60 m
↓
S 66.138299°
E 97.857971°		 ← 123.53 m →
15 268 m²		 S 66.138299°
E 97.860718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771831512451172 y=0.747402191162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771831512451172 × 217)
    floor (0.771831512451172 × 131072)
    floor (101165.5)     		tx = 101165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747402191162109 × 217)
    floor (0.747402191162109 × 131072)
    floor (97963.5)     		ty = 97963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101165 / 97963 ti = "17/101165/97963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101165/97963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101165 ÷ 217
    101165 ÷ 131072     		x = 0.771827697753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97963 ÷ 217
    97963 ÷ 131072     		y = 0.747398376464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771827697753906 × 2 - 1) × π
    0.543655395507812 × 3.1415926535     		Λ = 1.70794380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747398376464844 × 2 - 1) × π
    -0.494796752929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.55444984397956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70794380} λ = 1.70794380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55444984397956))-π/2
    2×atan(0.211305601717665)-π/2
    2×0.208242321872416-π/2
    0.416484643744833-1.57079632675     		φ = -1.15431168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70794380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.857971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15431168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.137188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101165 KachelY 97963 1.70794380 -1.15431168 97.857971 -66.137188
    Oben rechts KachelX + 1 101166 KachelY 97963 1.70799173 -1.15431168 97.860718 -66.137188
    Unten links KachelX 101165 KachelY + 1 97964 1.70794380 -1.15433108 97.857971 -66.138299
    Unten rechts KachelX + 1 101166 KachelY + 1 97964 1.70799173 -1.15433108 97.860718 -66.138299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15431168--1.15433108) × R
    1.94000000000027e-05 × 6371000     		dl = 123.597400000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15431168--1.15433108) × R
    1.94000000000027e-05 × 6371000     		dr = 123.597400000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70794380-1.70799173) × cos(-1.15431168) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404548110047975 × 6371000     		do = 123.533632116989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70794380-1.70799173) × cos(-1.15433108) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404530368347528 × 6371000     		du = 123.528214475325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15431168)-sin(-1.15433108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404548110047975-0.404530368347528)×R²
    abs(1.70799173-1.70794380)×1.77417004469937e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77417004469937e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77417004469937e-05×40589641000000     		ar = 15268.100939432m²