Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101161 / 98251
↖ ↑ ↗
← S 66.455179°
E 97.846985°		 ← 122.01 m → S 66.455179°
E 97.849732°		 →
↑
121.94 m
↓
↑
121.94 m
↓
S 66.456275°
E 97.846985°		 ← 122 m →
14 877 m²		 S 66.456275°
E 97.849732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771800994873047 y=0.749599456787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771800994873047 × 217)
    floor (0.771800994873047 × 131072)
    floor (101161.5)     		tx = 101161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749599456787109 × 217)
    floor (0.749599456787109 × 131072)
    floor (98251.5)     		ty = 98251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101161 / 98251 ti = "17/101161/98251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101161/98251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101161 ÷ 217
    101161 ÷ 131072     		x = 0.771797180175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98251 ÷ 217
    98251 ÷ 131072     		y = 0.749595642089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771797180175781 × 2 - 1) × π
    0.543594360351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.70775205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749595642089844 × 2 - 1) × π
    -0.499191284179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.56825567107014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70775205} λ = 1.70775205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56825567107014))-π/2
    2×atan(0.208408398279249)-π/2
    2×0.205467330555391-π/2
    0.410934661110782-1.57079632675     		φ = -1.15986167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70775205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.846985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15986167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.455179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101161 KachelY 98251 1.70775205 -1.15986167 97.846985 -66.455179
    Oben rechts KachelX + 1 101162 KachelY 98251 1.70779999 -1.15986167 97.849732 -66.455179
    Unten links KachelX 101161 KachelY + 1 98252 1.70775205 -1.15988081 97.846985 -66.456275
    Unten rechts KachelX + 1 101162 KachelY + 1 98252 1.70779999 -1.15988081 97.849732 -66.456275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15986167--1.15988081) × R
    1.91400000000286e-05 × 6371000     		dl = 121.940940000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15986167--1.15988081) × R
    1.91400000000286e-05 × 6371000     		dr = 121.940940000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70775205-1.70779999) × cos(-1.15986167) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399466346959186 × 6371000     		do = 122.007304625026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70775205-1.70779999) × cos(-1.15988081) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399448800331989 × 6371000     		du = 122.00194543343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15986167)-sin(-1.15988081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399466346959186-0.399448800331989)×R²
    abs(1.70779999-1.70775205)×1.7546627197329e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7546627197329e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7546627197329e-05×40589641000000     		ar = 14877.3586609447m²