Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101161 / 97083
↖ ↑ ↗
← S 65.140342°
E 97.846985°		 ← 128.40 m → S 65.140342°
E 97.849732°		 →
↑
128.38 m
↓
↑
128.38 m
↓
S 65.141497°
E 97.846985°		 ← 128.39 m →
16 483 m²		 S 65.141497°
E 97.849732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771800994873047 y=0.740688323974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771800994873047 × 217)
    floor (0.771800994873047 × 131072)
    floor (101161.5)     		tx = 101161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740688323974609 × 217)
    floor (0.740688323974609 × 131072)
    floor (97083.5)     		ty = 97083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101161 / 97083 ti = "17/101161/97083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101161/97083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101161 ÷ 217
    101161 ÷ 131072     		x = 0.771797180175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97083 ÷ 217
    97083 ÷ 131072     		y = 0.740684509277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771797180175781 × 2 - 1) × π
    0.543594360351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.70775205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740684509277344 × 2 - 1) × π
    -0.481369018554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.51226537231391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70775205} λ = 1.70775205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51226537231391))-π/2
    2×atan(0.220410101028899)-π/2
    2×0.216941439770951-π/2
    0.433882879541902-1.57079632675     		φ = -1.13691345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70775205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.846985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13691345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.140342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101161 KachelY 97083 1.70775205 -1.13691345 97.846985 -65.140342
    Oben rechts KachelX + 1 101162 KachelY 97083 1.70779999 -1.13691345 97.849732 -65.140342
    Unten links KachelX 101161 KachelY + 1 97084 1.70775205 -1.13693360 97.846985 -65.141497
    Unten rechts KachelX + 1 101162 KachelY + 1 97084 1.70779999 -1.13693360 97.849732 -65.141497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13691345--1.13693360) × R
    2.01500000001076e-05 × 6371000     		dl = 128.375650000685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13691345--1.13693360) × R
    2.01500000001076e-05 × 6371000     		dr = 128.375650000685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70775205-1.70779999) × cos(-1.13691345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420397053056567 × 6371000     		do = 128.400081023537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70775205-1.70779999) × cos(-1.13693360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420378770065312 × 6371000     		du = 128.394496927404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13691345)-sin(-1.13693360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420397053056567-0.420378770065312)×R²
    abs(1.70779999-1.70775205)×1.82829912541149e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82829912541149e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82829912541149e-05×40589641000000     		ar = 16483.0854311479m²