Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101161 / 97082
↖ ↑ ↗
← S 65.139187°
E 97.846985°		 ← 128.41 m → S 65.139187°
E 97.849732°		 →
↑
128.44 m
↓
↑
128.44 m
↓
S 65.140342°
E 97.846985°		 ← 128.40 m →
16 492 m²		 S 65.140342°
E 97.849732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771800994873047 y=0.740680694580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771800994873047 × 217)
    floor (0.771800994873047 × 131072)
    floor (101161.5)     		tx = 101161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740680694580078 × 217)
    floor (0.740680694580078 × 131072)
    floor (97082.5)     		ty = 97082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101161 / 97082 ti = "17/101161/97082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101161/97082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101161 ÷ 217
    101161 ÷ 131072     		x = 0.771797180175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97082 ÷ 217
    97082 ÷ 131072     		y = 0.740676879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771797180175781 × 2 - 1) × π
    0.543594360351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.70775205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740676879882812 × 2 - 1) × π
    -0.481353759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51221743541429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70775205} λ = 1.70775205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51221743541429))-π/2
    2×atan(0.220420667059036)-π/2
    2×0.216951516255814-π/2
    0.433903032511628-1.57079632675     		φ = -1.13689329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70775205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.846985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13689329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.139187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101161 KachelY 97082 1.70775205 -1.13689329 97.846985 -65.139187
    Oben rechts KachelX + 1 101162 KachelY 97082 1.70779999 -1.13689329 97.849732 -65.139187
    Unten links KachelX 101161 KachelY + 1 97083 1.70775205 -1.13691345 97.846985 -65.140342
    Unten rechts KachelX + 1 101162 KachelY + 1 97083 1.70779999 -1.13691345 97.849732 -65.140342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13689329--1.13691345) × R
    2.01600000000468e-05 × 6371000     		dl = 128.439360000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13689329--1.13691345) × R
    2.01600000000468e-05 × 6371000     		dr = 128.439360000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70775205-1.70779999) × cos(-1.13689329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420415344950448 × 6371000     		do = 128.405667838762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70775205-1.70779999) × cos(-1.13691345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420397053056567 × 6371000     		du = 128.400081023537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13689329)-sin(-1.13691345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420415344950448-0.420397053056567)×R²
    abs(1.70779999-1.70775205)×1.82918938810839e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82918938810839e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82918938810839e-05×40589641000000     		ar = 16491.9830146515m²