Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101161 / 96985
↖ ↑ ↗
← S 65.026945°
E 97.846985°		 ← 128.95 m → S 65.026945°
E 97.849732°		 →
↑
128.89 m
↓
↑
128.89 m
↓
S 65.028104°
E 97.846985°		 ← 128.94 m →
16 619 m²		 S 65.028104°
E 97.849732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771800994873047 y=0.739940643310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771800994873047 × 217)
    floor (0.771800994873047 × 131072)
    floor (101161.5)     		tx = 101161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739940643310547 × 217)
    floor (0.739940643310547 × 131072)
    floor (96985.5)     		ty = 96985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101161 / 96985 ti = "17/101161/96985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101161/96985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101161 ÷ 217
    101161 ÷ 131072     		x = 0.771797180175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96985 ÷ 217
    96985 ÷ 131072     		y = 0.739936828613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771797180175781 × 2 - 1) × π
    0.543594360351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.70775205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739936828613281 × 2 - 1) × π
    -0.479873657226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.50756755615115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70775205} λ = 1.70775205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50756755615115))-π/2
    2×atan(0.221447983144846)-π/2
    2×0.217931020722965-π/2
    0.43586204144593-1.57079632675     		φ = -1.13493429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70775205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.846985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13493429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.026945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101161 KachelY 96985 1.70775205 -1.13493429 97.846985 -65.026945
    Oben rechts KachelX + 1 101162 KachelY 96985 1.70779999 -1.13493429 97.849732 -65.026945
    Unten links KachelX 101161 KachelY + 1 96986 1.70775205 -1.13495452 97.846985 -65.028104
    Unten rechts KachelX + 1 101162 KachelY + 1 96986 1.70779999 -1.13495452 97.849732 -65.028104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13493429--1.13495452) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dl = 128.885330000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13493429--1.13495452) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dr = 128.885330000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70775205-1.70779999) × cos(-1.13493429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422192000037887 × 6371000     		do = 128.948304033567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70775205-1.70779999) × cos(-1.13495452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422173661326334 × 6371000     		du = 128.94270291902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13493429)-sin(-1.13495452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422192000037887-0.422173661326334)×R²
    abs(1.70779999-1.70775205)×1.83387115527678e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83387115527678e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83387115527678e-05×40589641000000     		ar = 16619.1837682927m²