Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101161 / 96935
↖ ↑ ↗
← S 64.968903°
E 97.846985°		 ← 129.23 m → S 64.968903°
E 97.849732°		 →
↑
129.20 m
↓
↑
129.20 m
↓
S 64.970064°
E 97.846985°		 ← 129.22 m →
16 696 m²		 S 64.970064°
E 97.849732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771800994873047 y=0.739559173583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771800994873047 × 217)
    floor (0.771800994873047 × 131072)
    floor (101161.5)     		tx = 101161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739559173583984 × 217)
    floor (0.739559173583984 × 131072)
    floor (96935.5)     		ty = 96935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101161 / 96935 ti = "17/101161/96935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101161/96935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101161 ÷ 217
    101161 ÷ 131072     		x = 0.771797180175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96935 ÷ 217
    96935 ÷ 131072     		y = 0.739555358886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771797180175781 × 2 - 1) × π
    0.543594360351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.70775205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739555358886719 × 2 - 1) × π
    -0.479110717773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.50517071117014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70775205} λ = 1.70775205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50517071117014))-π/2
    2×atan(0.221979396234791)-π/2
    2×0.218437535096333-π/2
    0.436875070192666-1.57079632675     		φ = -1.13392126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70775205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.846985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13392126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.968903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101161 KachelY 96935 1.70775205 -1.13392126 97.846985 -64.968903
    Oben rechts KachelX + 1 101162 KachelY 96935 1.70779999 -1.13392126 97.849732 -64.968903
    Unten links KachelX 101161 KachelY + 1 96936 1.70775205 -1.13394154 97.846985 -64.970064
    Unten rechts KachelX + 1 101162 KachelY + 1 96936 1.70779999 -1.13394154 97.849732 -64.970064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13392126--1.13394154) × R
    2.02799999999836e-05 × 6371000     		dl = 129.203879999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13392126--1.13394154) × R
    2.02799999999836e-05 × 6371000     		dr = 129.203879999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70775205-1.70779999) × cos(-1.13392126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.423110101460794 × 6371000     		do = 129.228715840053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70775205-1.70779999) × cos(-1.13394154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.423091726106352 × 6371000     		du = 129.223103533825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13392126)-sin(-1.13394154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423110101460794-0.423091726106352)×R²
    abs(1.70779999-1.70775205)×1.83753544418241e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83753544418241e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83753544418241e-05×40589641000000     		ar = 16696.4889287043m²