Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101160 / 98152
↖ ↑ ↗
← S 66.346322°
E 97.844238°		 ← 122.54 m → S 66.346322°
E 97.846985°		 →
↑
122.51 m
↓
↑
122.51 m
↓
S 66.347424°
E 97.844238°		 ← 122.53 m →
15 012 m²		 S 66.347424°
E 97.846985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771793365478516 y=0.748844146728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771793365478516 × 217)
    floor (0.771793365478516 × 131072)
    floor (101160.5)     		tx = 101160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748844146728516 × 217)
    floor (0.748844146728516 × 131072)
    floor (98152.5)     		ty = 98152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101160 / 98152 ti = "17/101160/98152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101160/98152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101160 ÷ 217
    101160 ÷ 131072     		x = 0.77178955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98152 ÷ 217
    98152 ÷ 131072     		y = 0.74884033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77178955078125 × 2 - 1) × π
    0.5435791015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70770411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74884033203125 × 2 - 1) × π
    -0.4976806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56350991800775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70770411} λ = 1.70770411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56350991800775))-π/2
    2×atan(0.209399803695539)-π/2
    2×0.206417279267883-π/2
    0.412834558535766-1.57079632675     		φ = -1.15796177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70770411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.844238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15796177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.346322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101160 KachelY 98152 1.70770411 -1.15796177 97.844238 -66.346322
    Oben rechts KachelX + 1 101161 KachelY 98152 1.70775205 -1.15796177 97.846985 -66.346322
    Unten links KachelX 101160 KachelY + 1 98153 1.70770411 -1.15798100 97.844238 -66.347424
    Unten rechts KachelX + 1 101161 KachelY + 1 98153 1.70775205 -1.15798100 97.846985 -66.347424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15796177--1.15798100) × R
    1.92299999999257e-05 × 6371000     		dl = 122.514329999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15796177--1.15798100) × R
    1.92299999999257e-05 × 6371000     		dr = 122.514329999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70770411-1.70775205) × cos(-1.15796177) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401207354208718 × 6371000     		do = 122.539053052559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70770411-1.70775205) × cos(-1.15798100) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401189739699544 × 6371000     		du = 122.53367312806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15796177)-sin(-1.15798100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401207354208718-0.401189739699544)×R²
    abs(1.70775205-1.70770411)×1.76145091742019e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76145091742019e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76145091742019e-05×40589641000000     		ar = 15012.4604251517m²