Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101160 / 96888
↖ ↑ ↗
← S 64.914227°
E 97.844238°		 ← 129.49 m → S 64.914227°
E 97.846985°		 →
↑
129.52 m
↓
↑
129.52 m
↓
S 64.915392°
E 97.844238°		 ← 129.49 m →
16 772 m²		 S 64.915392°
E 97.846985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771793365478516 y=0.739200592041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771793365478516 × 217)
    floor (0.771793365478516 × 131072)
    floor (101160.5)     		tx = 101160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739200592041016 × 217)
    floor (0.739200592041016 × 131072)
    floor (96888.5)     		ty = 96888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101160 / 96888 ti = "17/101160/96888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101160/96888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101160 ÷ 217
    101160 ÷ 131072     		x = 0.77178955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96888 ÷ 217
    96888 ÷ 131072     		y = 0.73919677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77178955078125 × 2 - 1) × π
    0.5435791015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70770411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73919677734375 × 2 - 1) × π
    -0.4783935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.502917676888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70770411} λ = 1.70770411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.502917676888))-π/2
    2×atan(0.222480087249649)-π/2
    2×0.218914662653818-π/2
    0.437829325307635-1.57079632675     		φ = -1.13296700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70770411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.844238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13296700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.914227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101160 KachelY 96888 1.70770411 -1.13296700 97.844238 -64.914227
    Oben rechts KachelX + 1 101161 KachelY 96888 1.70775205 -1.13296700 97.846985 -64.914227
    Unten links KachelX 101160 KachelY + 1 96889 1.70770411 -1.13298733 97.844238 -64.915392
    Unten rechts KachelX + 1 101161 KachelY + 1 96889 1.70775205 -1.13298733 97.846985 -64.915392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13296700--1.13298733) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dl = 129.522429999374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13296700--1.13298733) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dr = 129.522429999374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70770411-1.70775205) × cos(-1.13296700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.423974542940537 × 6371000     		do = 129.49273851869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70770411-1.70775205) × cos(-1.13298733) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42395613049834 × 6371000     		du = 129.487114884907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13296700)-sin(-1.13298733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423974542940537-0.42395613049834)×R²
    abs(1.70775205-1.70770411)×1.84124421972465e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84124421972465e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84124421972465e-05×40589641000000     		ar = 16771.8499673417m²