Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101157 / 98749
↖ ↑ ↗
← S 66.995624°
E 97.835998°		 ← 119.36 m → S 66.995624°
E 97.838745°		 →
↑
119.33 m
↓
↑
119.33 m
↓
S 66.996697°
E 97.835998°		 ← 119.36 m →
14 243 m²		 S 66.996697°
E 97.838745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771770477294922 y=0.753398895263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771770477294922 × 217)
    floor (0.771770477294922 × 131072)
    floor (101157.5)     		tx = 101157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753398895263672 × 217)
    floor (0.753398895263672 × 131072)
    floor (98749.5)     		ty = 98749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101157 / 98749 ti = "17/101157/98749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101157/98749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101157 ÷ 217
    101157 ÷ 131072     		x = 0.771766662597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98749 ÷ 217
    98749 ÷ 131072     		y = 0.753395080566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771766662597656 × 2 - 1) × π
    0.543533325195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.70756030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753395080566406 × 2 - 1) × π
    -0.506790161132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.59212824708093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70756030} λ = 1.70756030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59212824708093))-π/2
    2×atan(0.203492069152823)-π/2
    2×0.200751052661518-π/2
    0.401502105323036-1.57079632675     		φ = -1.16929422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70756030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.835998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16929422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.995624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101157 KachelY 98749 1.70756030 -1.16929422 97.835998 -66.995624
    Oben rechts KachelX + 1 101158 KachelY 98749 1.70760824 -1.16929422 97.838745 -66.995624
    Unten links KachelX 101157 KachelY + 1 98750 1.70756030 -1.16931295 97.835998 -66.996697
    Unten rechts KachelX + 1 101158 KachelY + 1 98750 1.70760824 -1.16931295 97.838745 -66.996697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16929422--1.16931295) × R
    1.87299999998558e-05 × 6371000     		dl = 119.328829999081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16929422--1.16931295) × R
    1.87299999998558e-05 × 6371000     		dr = 119.328829999081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70756030-1.70760824) × cos(-1.16929422) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.39080143443892 × 6371000     		do = 119.360817307043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70756030-1.70760824) × cos(-1.16931295) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.390784193873488 × 6371000     		du = 119.355551594588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16929422)-sin(-1.16931295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39080143443892-0.390784193873488)×R²
    abs(1.70760824-1.70756030)×1.7240565432397e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.7240565432397e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.7240565432397e-05×40589641000000     		ar = 14242.8725018511m²