Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101157 / 97075
↖ ↑ ↗
← S 65.131103°
E 97.835998°		 ← 128.44 m → S 65.131103°
E 97.838745°		 →
↑
128.44 m
↓
↑
128.44 m
↓
S 65.132258°
E 97.835998°		 ← 128.44 m →
16 497 m²		 S 65.132258°
E 97.838745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771770477294922 y=0.740627288818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771770477294922 × 217)
    floor (0.771770477294922 × 131072)
    floor (101157.5)     		tx = 101157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740627288818359 × 217)
    floor (0.740627288818359 × 131072)
    floor (97075.5)     		ty = 97075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101157 / 97075 ti = "17/101157/97075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101157/97075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101157 ÷ 217
    101157 ÷ 131072     		x = 0.771766662597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97075 ÷ 217
    97075 ÷ 131072     		y = 0.740623474121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771766662597656 × 2 - 1) × π
    0.543533325195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.70756030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740623474121094 × 2 - 1) × π
    -0.481246948242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.51188187711695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70756030} λ = 1.70756030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51188187711695))-π/2
    2×atan(0.220494643453776)-π/2
    2×0.217022063922613-π/2
    0.434044127845226-1.57079632675     		φ = -1.13675220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70756030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.835998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13675220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.131103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101157 KachelY 97075 1.70756030 -1.13675220 97.835998 -65.131103
    Oben rechts KachelX + 1 101158 KachelY 97075 1.70760824 -1.13675220 97.838745 -65.131103
    Unten links KachelX 101157 KachelY + 1 97076 1.70756030 -1.13677236 97.835998 -65.132258
    Unten rechts KachelX + 1 101158 KachelY + 1 97076 1.70760824 -1.13677236 97.838745 -65.132258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13675220--1.13677236) × R
    2.01599999998248e-05 × 6371000     		dl = 128.439359998884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13675220--1.13677236) × R
    2.01599999998248e-05 × 6371000     		dr = 128.439359998884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70756030-1.70760824) × cos(-1.13675220) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.420543356204734 × 6371000     		do = 128.444765771425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70756030-1.70760824) × cos(-1.13677236) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.420525065506828 × 6371000     		du = 128.439179321482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13675220)-sin(-1.13677236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420543356204734-0.420525065506828)×R²
    abs(1.70760824-1.70756030)×1.82906979062092e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.82906979062092e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.82906979062092e-05×40589641000000     		ar = 16497.0047514008m²