Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101155 / 98092
↖ ↑ ↗
← S 66.280118°
E 97.830506°		 ← 122.84 m → S 66.280118°
E 97.833252°		 →
↑
122.83 m
↓
↑
122.83 m
↓
S 66.281223°
E 97.830506°		 ← 122.83 m →
15 088 m²		 S 66.281223°
E 97.833252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771755218505859 y=0.748386383056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771755218505859 × 217)
    floor (0.771755218505859 × 131072)
    floor (101155.5)     		tx = 101155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748386383056641 × 217)
    floor (0.748386383056641 × 131072)
    floor (98092.5)     		ty = 98092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101155 / 98092 ti = "17/101155/98092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101155/98092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101155 ÷ 217
    101155 ÷ 131072     		x = 0.771751403808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98092 ÷ 217
    98092 ÷ 131072     		y = 0.748382568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771751403808594 × 2 - 1) × π
    0.543502807617188 × 3.1415926535     		Λ = 1.70746443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748382568359375 × 2 - 1) × π
    -0.49676513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56063370403055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70746443} λ = 1.70746443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56063370403055))-π/2
    2×atan(0.210002949309876)-π/2
    2×0.206995018957036-π/2
    0.413990037914072-1.57079632675     		φ = -1.15680629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70746443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.830506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15680629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.280118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101155 KachelY 98092 1.70746443 -1.15680629 97.830506 -66.280118
    Oben rechts KachelX + 1 101156 KachelY 98092 1.70751236 -1.15680629 97.833252 -66.280118
    Unten links KachelX 101155 KachelY + 1 98093 1.70746443 -1.15682557 97.830506 -66.281223
    Unten rechts KachelX + 1 101156 KachelY + 1 98093 1.70751236 -1.15682557 97.833252 -66.281223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15680629--1.15682557) × R
    1.92800000000659e-05 × 6371000     		dl = 122.83288000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15680629--1.15682557) × R
    1.92800000000659e-05 × 6371000     		dr = 122.83288000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70746443-1.70751236) × cos(-1.15680629) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.402265491098638 × 6371000     		do = 122.836606960902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70746443-1.70751236) × cos(-1.15682557) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.402247839739264 × 6371000     		du = 122.831216905972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15680629)-sin(-1.15682557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402265491098638-0.402247839739264)×R²
    abs(1.70751236-1.70746443)×1.76513593739824e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.76513593739824e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.76513593739824e-05×40589641000000     		ar = 15088.0431651199m²