Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101154 / 98083
↖ ↑ ↗
← S 66.270172°
E 97.827759°		 ← 122.91 m → S 66.270172°
E 97.830506°		 →
↑
122.90 m
↓
↑
122.90 m
↓
S 66.271277°
E 97.827759°		 ← 122.91 m →
15 105 m²		 S 66.271277°
E 97.830506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771747589111328 y=0.748317718505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771747589111328 × 217)
    floor (0.771747589111328 × 131072)
    floor (101154.5)     		tx = 101154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748317718505859 × 217)
    floor (0.748317718505859 × 131072)
    floor (98083.5)     		ty = 98083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101154 / 98083 ti = "17/101154/98083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101154/98083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101154 ÷ 217
    101154 ÷ 131072     		x = 0.771743774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98083 ÷ 217
    98083 ÷ 131072     		y = 0.748313903808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771743774414062 × 2 - 1) × π
    0.543487548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70741649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748313903808594 × 2 - 1) × π
    -0.496627807617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.56020227193397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70741649} λ = 1.70741649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56020227193397))-π/2
    2×atan(0.210093570869704)-π/2
    2×0.207081811218662-π/2
    0.414163622437323-1.57079632675     		φ = -1.15663270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70741649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.827759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15663270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.270172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101154 KachelY 98083 1.70741649 -1.15663270 97.827759 -66.270172
    Oben rechts KachelX + 1 101155 KachelY 98083 1.70746443 -1.15663270 97.830506 -66.270172
    Unten links KachelX 101154 KachelY + 1 98084 1.70741649 -1.15665199 97.827759 -66.271277
    Unten rechts KachelX + 1 101155 KachelY + 1 98084 1.70746443 -1.15665199 97.830506 -66.271277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15663270--1.15665199) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dl = 122.896590000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15663270--1.15665199) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dr = 122.896590000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70741649-1.70746443) × cos(-1.15663270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402424410685115 × 6371000     		do = 122.910773427485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70741649-1.70746443) × cos(-1.15665199) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402406751517676 × 6371000     		du = 122.905379863202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15663270)-sin(-1.15665199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402424410685115-0.402406751517676)×R²
    abs(1.70746443-1.70741649)×1.76591674390658e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76591674390658e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76591674390658e-05×40589641000000     		ar = 15104.9835035826m²