Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101153 / 98145
↖ ↑ ↗
← S 66.338607°
E 97.825012°		 ← 122.58 m → S 66.338607°
E 97.827759°		 →
↑
122.58 m
↓
↑
122.58 m
↓
S 66.339710°
E 97.825012°		 ← 122.57 m →
15 025 m²		 S 66.339710°
E 97.827759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771739959716797 y=0.748790740966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771739959716797 × 217)
    floor (0.771739959716797 × 131072)
    floor (101153.5)     		tx = 101153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748790740966797 × 217)
    floor (0.748790740966797 × 131072)
    floor (98145.5)     		ty = 98145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101153 / 98145 ti = "17/101153/98145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101153/98145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101153 ÷ 217
    101153 ÷ 131072     		x = 0.771736145019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98145 ÷ 217
    98145 ÷ 131072     		y = 0.748786926269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771736145019531 × 2 - 1) × π
    0.543472290039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.70736855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748786926269531 × 2 - 1) × π
    -0.497573852539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.56317435971041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70736855} λ = 1.70736855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56317435971041))-π/2
    2×atan(0.209470081327592)-π/2
    2×0.206484603842427-π/2
    0.412969207684854-1.57079632675     		φ = -1.15782712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70736855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.825012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15782712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.338607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101153 KachelY 98145 1.70736855 -1.15782712 97.825012 -66.338607
    Oben rechts KachelX + 1 101154 KachelY 98145 1.70741649 -1.15782712 97.827759 -66.338607
    Unten links KachelX 101153 KachelY + 1 98146 1.70736855 -1.15784636 97.825012 -66.339710
    Unten rechts KachelX + 1 101154 KachelY + 1 98146 1.70741649 -1.15784636 97.827759 -66.339710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15782712--1.15784636) × R
    1.92399999998649e-05 × 6371000     		dl = 122.578039999139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15782712--1.15784636) × R
    1.92399999998649e-05 × 6371000     		dr = 122.578039999139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70736855-1.70741649) × cos(-1.15782712) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40133068825572 × 6371000     		do = 122.576722445132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70736855-1.70741649) × cos(-1.15784636) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401313065626128 × 6371000     		du = 122.571340040448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15782712)-sin(-1.15784636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40133068825572-0.401313065626128)×R²
    abs(1.70741649-1.70736855)×1.76226295927062e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76226295927062e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76226295927062e-05×40589641000000     		ar = 15024.8845049442m²