Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101153 / 98143
↖ ↑ ↗
← S 66.336403°
E 97.825012°		 ← 122.59 m → S 66.336403°
E 97.827759°		 →
↑
122.58 m
↓
↑
122.58 m
↓
S 66.337505°
E 97.825012°		 ← 122.58 m →
15 026 m²		 S 66.337505°
E 97.827759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771739959716797 y=0.748775482177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771739959716797 × 217)
    floor (0.771739959716797 × 131072)
    floor (101153.5)     		tx = 101153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748775482177734 × 217)
    floor (0.748775482177734 × 131072)
    floor (98143.5)     		ty = 98143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101153 / 98143 ti = "17/101153/98143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101153/98143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101153 ÷ 217
    101153 ÷ 131072     		x = 0.771736145019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98143 ÷ 217
    98143 ÷ 131072     		y = 0.748771667480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771736145019531 × 2 - 1) × π
    0.543472290039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.70736855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748771667480469 × 2 - 1) × π
    -0.497543334960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.56307848591117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70736855} λ = 1.70736855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56307848591117))-π/2
    2×atan(0.209490164982849)-π/2
    2×0.20650384323611-π/2
    0.41300768647222-1.57079632675     		φ = -1.15778864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70736855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.825012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15778864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.336403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101153 KachelY 98143 1.70736855 -1.15778864 97.825012 -66.336403
    Oben rechts KachelX + 1 101154 KachelY 98143 1.70741649 -1.15778864 97.827759 -66.336403
    Unten links KachelX 101153 KachelY + 1 98144 1.70736855 -1.15780788 97.825012 -66.337505
    Unten rechts KachelX + 1 101154 KachelY + 1 98144 1.70741649 -1.15780788 97.827759 -66.337505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15778864--1.15780788) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dl = 122.578040000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15778864--1.15780788) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dr = 122.578040000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70736855-1.70741649) × cos(-1.15778864) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401365933069209 × 6371000     		do = 122.587487118373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70736855-1.70741649) × cos(-1.15780788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40134831073675 × 6371000     		du = 122.582104804441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15778864)-sin(-1.15780788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401365933069209-0.40134831073675)×R²
    abs(1.70741649-1.70736855)×1.76223324591107e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76223324591107e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76223324591107e-05×40589641000000     		ar = 15026.2040231532m²