Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101152 / 99168
↖ ↑ ↗
← S 67.441229°
E 97.822266°		 ← 117.15 m → S 67.441229°
E 97.825012°		 →
↑
117.16 m
↓
↑
117.16 m
↓
S 67.442282°
E 97.822266°		 ← 117.14 m →
13 725 m²		 S 67.442282°
E 97.825012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771732330322266 y=0.756595611572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771732330322266 × 217)
    floor (0.771732330322266 × 131072)
    floor (101152.5)     		tx = 101152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756595611572266 × 217)
    floor (0.756595611572266 × 131072)
    floor (99168.5)     		ty = 99168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101152 / 99168 ti = "17/101152/99168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101152/99168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101152 ÷ 217
    101152 ÷ 131072     		x = 0.771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99168 ÷ 217
    99168 ÷ 131072     		y = 0.756591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771728515625 × 2 - 1) × π
    0.54345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70732062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756591796875 × 2 - 1) × π
    -0.51318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61221380802173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70732062} λ = 1.70732062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61221380802173))-π/2
    2×atan(0.199445590729603)-π/2
    2×0.196862417221312-π/2
    0.393724834442623-1.57079632675     		φ = -1.17707149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70732062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17707149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.441229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101152 KachelY 99168 1.70732062 -1.17707149 97.822266 -67.441229
    Oben rechts KachelX + 1 101153 KachelY 99168 1.70736855 -1.17707149 97.825012 -67.441229
    Unten links KachelX 101152 KachelY + 1 99169 1.70732062 -1.17708988 97.822266 -67.442282
    Unten rechts KachelX + 1 101153 KachelY + 1 99169 1.70736855 -1.17708988 97.825012 -67.442282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17707149--1.17708988) × R
    1.83899999999237e-05 × 6371000     		dl = 117.162689999514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17707149--1.17708988) × R
    1.83899999999237e-05 × 6371000     		dr = 117.162689999514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70732062-1.70736855) × cos(-1.17707149) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383630905012957 × 6371000     		do = 117.146311925566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70732062-1.70736855) × cos(-1.17708988) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383613922031223 × 6371000     		du = 117.141125967788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17707149)-sin(-1.17708988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383630905012957-0.383613922031223)×R²
    abs(1.70736855-1.70732062)×1.69829817342482e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69829817342482e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69829817342482e-05×40589641000000     		ar = 13724.873228849m²