Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101152 / 98658
↖ ↑ ↗
← S 66.897751°
E 97.822266°		 ← 119.82 m → S 66.897751°
E 97.825012°		 →
↑
119.84 m
↓
↑
119.84 m
↓
S 66.898829°
E 97.822266°		 ← 119.81 m →
14 358 m²		 S 66.898829°
E 97.825012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771732330322266 y=0.752704620361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771732330322266 × 217)
    floor (0.771732330322266 × 131072)
    floor (101152.5)     		tx = 101152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752704620361328 × 217)
    floor (0.752704620361328 × 131072)
    floor (98658.5)     		ty = 98658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101152 / 98658 ti = "17/101152/98658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101152/98658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101152 ÷ 217
    101152 ÷ 131072     		x = 0.771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98658 ÷ 217
    98658 ÷ 131072     		y = 0.752700805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771728515625 × 2 - 1) × π
    0.54345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70732062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752700805664062 × 2 - 1) × π
    -0.505401611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5877659892155
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70732062} λ = 1.70732062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5877659892155))-π/2
    2×atan(0.204381693005619)-π/2
    2×0.201605154170448-π/2
    0.403210308340897-1.57079632675     		φ = -1.16758602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70732062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16758602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.897751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101152 KachelY 98658 1.70732062 -1.16758602 97.822266 -66.897751
    Oben rechts KachelX + 1 101153 KachelY 98658 1.70736855 -1.16758602 97.825012 -66.897751
    Unten links KachelX 101152 KachelY + 1 98659 1.70732062 -1.16760483 97.822266 -66.898829
    Unten rechts KachelX + 1 101153 KachelY + 1 98659 1.70736855 -1.16760483 97.825012 -66.898829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16758602--1.16760483) × R
    1.88100000000357e-05 × 6371000     		dl = 119.838510000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16758602--1.16760483) × R
    1.88100000000357e-05 × 6371000     		dr = 119.838510000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70732062-1.70736855) × cos(-1.16758602) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.392373218912663 × 6371000     		do = 119.815882644878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70732062-1.70736855) × cos(-1.16760483) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.392355917290555 × 6371000     		du = 119.810599386429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16758602)-sin(-1.16760483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392373218912663-0.392355917290555)×R²
    abs(1.70736855-1.70732062)×1.73016221078348e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73016221078348e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73016221078348e-05×40589641000000     		ar = 14358.2402818426m²