Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101152 / 98078
↖ ↑ ↗
← S 66.264645°
E 97.822266°		 ← 122.91 m → S 66.264645°
E 97.825012°		 →
↑
122.90 m
↓
↑
122.90 m
↓
S 66.265751°
E 97.822266°		 ← 122.91 m →
15 105 m²		 S 66.265751°
E 97.825012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771732330322266 y=0.748279571533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771732330322266 × 217)
    floor (0.771732330322266 × 131072)
    floor (101152.5)     		tx = 101152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748279571533203 × 217)
    floor (0.748279571533203 × 131072)
    floor (98078.5)     		ty = 98078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101152 / 98078 ti = "17/101152/98078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101152/98078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101152 ÷ 217
    101152 ÷ 131072     		x = 0.771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98078 ÷ 217
    98078 ÷ 131072     		y = 0.748275756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771728515625 × 2 - 1) × π
    0.54345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70732062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748275756835938 × 2 - 1) × π
    -0.496551513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55996258743587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70732062} λ = 1.70732062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55996258743587))-π/2
    2×atan(0.210143933077071)-π/2
    2×0.207130043955977-π/2
    0.414260087911954-1.57079632675     		φ = -1.15653624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70732062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15653624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.264645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101152 KachelY 98078 1.70732062 -1.15653624 97.822266 -66.264645
    Oben rechts KachelX + 1 101153 KachelY 98078 1.70736855 -1.15653624 97.825012 -66.264645
    Unten links KachelX 101152 KachelY + 1 98079 1.70732062 -1.15655553 97.822266 -66.265751
    Unten rechts KachelX + 1 101153 KachelY + 1 98079 1.70736855 -1.15655553 97.825012 -66.265751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15653624--1.15655553) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dl = 122.896590000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15653624--1.15655553) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dr = 122.896590000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70732062-1.70736855) × cos(-1.15653624) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.402512713430166 × 6371000     		do = 122.912099273919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70732062-1.70736855) × cos(-1.15655553) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.40249505501159 × 6371000     		du = 122.906707063376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15653624)-sin(-1.15655553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402512713430166-0.40249505501159)×R²
    abs(1.70736855-1.70732062)×1.76584185768713e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.76584185768713e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.76584185768713e-05×40589641000000     		ar = 15105.1465288709m²