Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101150 / 98660
↖ ↑ ↗
← S 66.899907°
E 97.816772°		 ← 119.83 m → S 66.899907°
E 97.819519°		 →
↑
119.77 m
↓
↑
119.77 m
↓
S 66.900984°
E 97.816772°		 ← 119.83 m →
14 352 m²		 S 66.900984°
E 97.819519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771717071533203 y=0.752719879150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771717071533203 × 217)
    floor (0.771717071533203 × 131072)
    floor (101150.5)     		tx = 101150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752719879150391 × 217)
    floor (0.752719879150391 × 131072)
    floor (98660.5)     		ty = 98660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101150 / 98660 ti = "17/101150/98660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101150/98660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101150 ÷ 217
    101150 ÷ 131072     		x = 0.771713256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98660 ÷ 217
    98660 ÷ 131072     		y = 0.752716064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771713256835938 × 2 - 1) × π
    0.543426513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70722474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752716064453125 × 2 - 1) × π
    -0.50543212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58786186301474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70722474} λ = 1.70722474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58786186301474))-π/2
    2×atan(0.204362099095501)-π/2
    2×0.201586345844097-π/2
    0.403172691688194-1.57079632675     		φ = -1.16762364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70722474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.816772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16762364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.899907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101150 KachelY 98660 1.70722474 -1.16762364 97.816772 -66.899907
    Oben rechts KachelX + 1 101151 KachelY 98660 1.70727268 -1.16762364 97.819519 -66.899907
    Unten links KachelX 101150 KachelY + 1 98661 1.70722474 -1.16764244 97.816772 -66.900984
    Unten rechts KachelX + 1 101151 KachelY + 1 98661 1.70727268 -1.16764244 97.819519 -66.900984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16762364--1.16764244) × R
    1.88000000000965e-05 × 6371000     		dl = 119.774800000615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16762364--1.16764244) × R
    1.88000000000965e-05 × 6371000     		dr = 119.774800000615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70722474-1.70727268) × cos(-1.16762364) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392338615529625 × 6371000     		do = 119.830311978633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70722474-1.70727268) × cos(-1.16764244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392321322828162 × 6371000     		du = 119.825030342492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16762364)-sin(-1.16764244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392338615529625-0.392321322828162)×R²
    abs(1.70727268-1.70722474)×1.72927014630564e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72927014630564e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72927014630564e-05×40589641000000     		ar = 14352.3353481946m²