Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101149 / 97955
↖ ↑ ↗
← S 66.128297°
E 97.814026°		 ← 123.58 m → S 66.128297°
E 97.816772°		 →
↑
123.60 m
↓
↑
123.60 m
↓
S 66.129408°
E 97.814026°		 ← 123.57 m →
15 273 m²		 S 66.129408°
E 97.816772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771709442138672 y=0.747341156005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771709442138672 × 217)
    floor (0.771709442138672 × 131072)
    floor (101149.5)     		tx = 101149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747341156005859 × 217)
    floor (0.747341156005859 × 131072)
    floor (97955.5)     		ty = 97955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101149 / 97955 ti = "17/101149/97955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101149/97955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101149 ÷ 217
    101149 ÷ 131072     		x = 0.771705627441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97955 ÷ 217
    97955 ÷ 131072     		y = 0.747337341308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771705627441406 × 2 - 1) × π
    0.543411254882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.70717681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747337341308594 × 2 - 1) × π
    -0.494674682617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.5540663487826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70717681} λ = 1.70717681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5540663487826))-π/2
    2×atan(0.211386651941207)-π/2
    2×0.208319906604325-π/2
    0.416639813208649-1.57079632675     		φ = -1.15415651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70717681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.814026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15415651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.128297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101149 KachelY 97955 1.70717681 -1.15415651 97.814026 -66.128297
    Oben rechts KachelX + 1 101150 KachelY 97955 1.70722474 -1.15415651 97.816772 -66.128297
    Unten links KachelX 101149 KachelY + 1 97956 1.70717681 -1.15417591 97.814026 -66.129408
    Unten rechts KachelX + 1 101150 KachelY + 1 97956 1.70722474 -1.15417591 97.816772 -66.129408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15415651--1.15417591) × R
    1.94000000000027e-05 × 6371000     		dl = 123.597400000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15415651--1.15417591) × R
    1.94000000000027e-05 × 6371000     		dr = 123.597400000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70717681-1.70722474) × cos(-1.15415651) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404690010736166 × 6371000     		do = 123.576963199193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70717681-1.70722474) × cos(-1.15417591) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404672270253716 × 6371000     		du = 123.571545929459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15415651)-sin(-1.15417591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404690010736166-0.404672270253716)×R²
    abs(1.70722474-1.70717681)×1.77404824497351e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77404824497351e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77404824497351e-05×40589641000000     		ar = 15273.4565714709m²