Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101148 / 98084
↖ ↑ ↗
← S 66.271277°
E 97.811279°		 ← 122.91 m → S 66.271277°
E 97.814026°		 →
↑
122.90 m
↓
↑
122.90 m
↓
S 66.272383°
E 97.811279°		 ← 122.90 m →
15 104 m²		 S 66.272383°
E 97.814026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771701812744141 y=0.748325347900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771701812744141 × 217)
    floor (0.771701812744141 × 131072)
    floor (101148.5)     		tx = 101148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748325347900391 × 217)
    floor (0.748325347900391 × 131072)
    floor (98084.5)     		ty = 98084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101148 / 98084 ti = "17/101148/98084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101148/98084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101148 ÷ 217
    101148 ÷ 131072     		x = 0.771697998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98084 ÷ 217
    98084 ÷ 131072     		y = 0.748321533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771697998046875 × 2 - 1) × π
    0.54339599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70712887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748321533203125 × 2 - 1) × π
    -0.49664306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56025020883359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70712887} λ = 1.70712887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56025020883359))-π/2
    2×atan(0.210083499876674)-π/2
    2×0.207072165941106-π/2
    0.414144331882213-1.57079632675     		φ = -1.15665199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70712887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.811279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15665199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.271277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101148 KachelY 98084 1.70712887 -1.15665199 97.811279 -66.271277
    Oben rechts KachelX + 1 101149 KachelY 98084 1.70717681 -1.15665199 97.814026 -66.271277
    Unten links KachelX 101148 KachelY + 1 98085 1.70712887 -1.15667128 97.811279 -66.272383
    Unten rechts KachelX + 1 101149 KachelY + 1 98085 1.70717681 -1.15667128 97.814026 -66.272383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15665199--1.15667128) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dl = 122.896590000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15665199--1.15667128) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dr = 122.896590000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70712887-1.70717681) × cos(-1.15665199) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402406751517676 × 6371000     		do = 122.905379863202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70712887-1.70717681) × cos(-1.15667128) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.4023890922005 × 6371000     		du = 122.899986253185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15665199)-sin(-1.15667128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402406751517676-0.4023890922005)×R²
    abs(1.70717681-1.70712887)×1.76593171762329e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76593171762329e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76593171762329e-05×40589641000000     		ar = 15104.3206502134m²