Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101148 / 96948
↖ ↑ ↗
← S 64.984006°
E 97.811279°		 ← 129.16 m → S 64.984006°
E 97.814026°		 →
↑
129.14 m
↓
↑
129.14 m
↓
S 64.985167°
E 97.811279°		 ← 129.15 m →
16 679 m²		 S 64.985167°
E 97.814026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771701812744141 y=0.739658355712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771701812744141 × 217)
    floor (0.771701812744141 × 131072)
    floor (101148.5)     		tx = 101148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739658355712891 × 217)
    floor (0.739658355712891 × 131072)
    floor (96948.5)     		ty = 96948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101148 / 96948 ti = "17/101148/96948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101148/96948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101148 ÷ 217
    101148 ÷ 131072     		x = 0.771697998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96948 ÷ 217
    96948 ÷ 131072     		y = 0.739654541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771697998046875 × 2 - 1) × π
    0.54339599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70712887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739654541015625 × 2 - 1) × π
    -0.47930908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5057938908652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70712887} λ = 1.70712887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5057938908652))-π/2
    2×atan(0.221841106276558)-π/2
    2×0.218305735498694-π/2
    0.436611470997388-1.57079632675     		φ = -1.13418486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70712887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.811279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13418486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.984006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101148 KachelY 96948 1.70712887 -1.13418486 97.811279 -64.984006
    Oben rechts KachelX + 1 101149 KachelY 96948 1.70717681 -1.13418486 97.814026 -64.984006
    Unten links KachelX 101148 KachelY + 1 96949 1.70712887 -1.13420513 97.811279 -64.985167
    Unten rechts KachelX + 1 101149 KachelY + 1 96949 1.70717681 -1.13420513 97.814026 -64.985167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13418486--1.13420513) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dl = 129.140170000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13418486--1.13420513) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dr = 129.140170000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70712887-1.70717681) × cos(-1.13418486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422871244530141 × 6371000     		do = 129.155762785255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70712887-1.70717681) × cos(-1.13420513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422852875976505 × 6371000     		du = 129.150152556167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13418486)-sin(-1.13420513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422871244530141-0.422852875976505)×R²
    abs(1.70717681-1.70712887)×1.83685536361833e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83685536361833e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83685536361833e-05×40589641000000     		ar = 16678.8349103304m²