Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101147 / 99076
↖ ↑ ↗
← S 67.344093°
E 97.808533°		 ← 117.65 m → S 67.344093°
E 97.811279°		 →
↑
117.61 m
↓
↑
117.61 m
↓
S 67.345151°
E 97.808533°		 ← 117.64 m →
13 836 m²		 S 67.345151°
E 97.811279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771694183349609 y=0.755893707275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771694183349609 × 217)
    floor (0.771694183349609 × 131072)
    floor (101147.5)     		tx = 101147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755893707275391 × 217)
    floor (0.755893707275391 × 131072)
    floor (99076.5)     		ty = 99076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101147 / 99076 ti = "17/101147/99076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101147/99076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101147 ÷ 217
    101147 ÷ 131072     		x = 0.771690368652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99076 ÷ 217
    99076 ÷ 131072     		y = 0.755889892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771690368652344 × 2 - 1) × π
    0.543380737304688 × 3.1415926535     		Λ = 1.70708093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755889892578125 × 2 - 1) × π
    -0.51177978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60780361325668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70708093} λ = 1.70708093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60780361325668))-π/2
    2×atan(0.200327127074427)-π/2
    2×0.197710085316881-π/2
    0.395420170633762-1.57079632675     		φ = -1.17537616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70708093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.808533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17537616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.344093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101147 KachelY 99076 1.70708093 -1.17537616 97.808533 -67.344093
    Oben rechts KachelX + 1 101148 KachelY 99076 1.70712887 -1.17537616 97.811279 -67.344093
    Unten links KachelX 101147 KachelY + 1 99077 1.70708093 -1.17539462 97.808533 -67.345151
    Unten rechts KachelX + 1 101148 KachelY + 1 99077 1.70712887 -1.17539462 97.811279 -67.345151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17537616--1.17539462) × R
    1.84600000001645e-05 × 6371000     		dl = 117.608660001048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17537616--1.17539462) × R
    1.84600000001645e-05 × 6371000     		dr = 117.608660001048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70708093-1.70712887) × cos(-1.17537616) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385195967337939 × 6371000     		do = 117.648763369129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70708093-1.70712887) × cos(-1.17539462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385178931741913 × 6371000     		du = 117.643560259606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17537616)-sin(-1.17539462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385195967337939-0.385178931741913)×R²
    abs(1.70712887-1.70708093)×1.70355960256718e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70355960256718e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70355960256718e-05×40589641000000     		ar = 13836.2074456392m²