Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101147 / 96949
↖ ↑ ↗
← S 64.985167°
E 97.808533°		 ← 129.15 m → S 64.985167°
E 97.811279°		 →
↑
129.14 m
↓
↑
129.14 m
↓
S 64.986328°
E 97.808533°		 ← 129.14 m →
16 678 m²		 S 64.986328°
E 97.811279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771694183349609 y=0.739665985107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771694183349609 × 217)
    floor (0.771694183349609 × 131072)
    floor (101147.5)     		tx = 101147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739665985107422 × 217)
    floor (0.739665985107422 × 131072)
    floor (96949.5)     		ty = 96949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101147 / 96949 ti = "17/101147/96949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101147/96949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101147 ÷ 217
    101147 ÷ 131072     		x = 0.771690368652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96949 ÷ 217
    96949 ÷ 131072     		y = 0.739662170410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771690368652344 × 2 - 1) × π
    0.543380737304688 × 3.1415926535     		Λ = 1.70708093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739662170410156 × 2 - 1) × π
    -0.479324340820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.50584182776482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70708093} λ = 1.70708093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50584182776482))-π/2
    2×atan(0.2218304721566)-π/2
    2×0.218295600150544-π/2
    0.436591200301087-1.57079632675     		φ = -1.13420513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70708093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.808533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13420513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.985167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101147 KachelY 96949 1.70708093 -1.13420513 97.808533 -64.985167
    Oben rechts KachelX + 1 101148 KachelY 96949 1.70712887 -1.13420513 97.811279 -64.985167
    Unten links KachelX 101147 KachelY + 1 96950 1.70708093 -1.13422540 97.808533 -64.986328
    Unten rechts KachelX + 1 101148 KachelY + 1 96950 1.70712887 -1.13422540 97.811279 -64.986328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13420513--1.13422540) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dl = 129.140170000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13420513--1.13422540) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dr = 129.140170000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70708093-1.70712887) × cos(-1.13420513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422852875976505 × 6371000     		do = 129.150152556167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70708093-1.70712887) × cos(-1.13422540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42283450724913 × 6371000     		du = 129.144542274016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13420513)-sin(-1.13422540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422852875976505-0.42283450724913)×R²
    abs(1.70712887-1.70708093)×1.83687273749844e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83687273749844e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83687273749844e-05×40589641000000     		ar = 16678.1104008802m²