Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101146 / 96946
↖ ↑ ↗
← S 64.981682°
E 97.805786°		 ← 129.14 m → S 64.981682°
E 97.808533°		 →
↑
129.14 m
↓
↑
129.14 m
↓
S 64.982844°
E 97.805786°		 ← 129.13 m →
16 677 m²		 S 64.982844°
E 97.808533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771686553955078 y=0.739643096923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771686553955078 × 217)
    floor (0.771686553955078 × 131072)
    floor (101146.5)     		tx = 101146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739643096923828 × 217)
    floor (0.739643096923828 × 131072)
    floor (96946.5)     		ty = 96946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101146 / 96946 ti = "17/101146/96946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101146/96946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101146 ÷ 217
    101146 ÷ 131072     		x = 0.771682739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96946 ÷ 217
    96946 ÷ 131072     		y = 0.739639282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771682739257812 × 2 - 1) × π
    0.543365478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70703300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739639282226562 × 2 - 1) × π
    -0.479278564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50569801706596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70703300} λ = 1.70703300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50569801706596))-π/2
    2×atan(0.221862376045835)-π/2
    2×0.218326007515874-π/2
    0.436652015031749-1.57079632675     		φ = -1.13414431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70703300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.805786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13414431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.981682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101146 KachelY 96946 1.70703300 -1.13414431 97.805786 -64.981682
    Oben rechts KachelX + 1 101147 KachelY 96946 1.70708093 -1.13414431 97.808533 -64.981682
    Unten links KachelX 101146 KachelY + 1 96947 1.70703300 -1.13416458 97.805786 -64.982844
    Unten rechts KachelX + 1 101147 KachelY + 1 96947 1.70708093 -1.13416458 97.808533 -64.982844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13414431--1.13416458) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dl = 129.140170000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13414431--1.13416458) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dr = 129.140170000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70703300-1.70708093) × cos(-1.13414431) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422907990177893 × 6371000     		do = 129.14004238402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70703300-1.70708093) × cos(-1.13416458) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422889621971843 × 6371000     		du = 129.134433431334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13414431)-sin(-1.13416458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422907990177893-0.422889621971843)×R²
    abs(1.70708093-1.70703300)×1.83682060502788e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83682060502788e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83682060502788e-05×40589641000000     		ar = 16676.8048573513m²