Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101145 / 96945
↖ ↑ ↗
← S 64.980521°
E 97.803040°		 ← 129.17 m → S 64.980521°
E 97.805786°		 →
↑
129.14 m
↓
↑
129.14 m
↓
S 64.981682°
E 97.803040°		 ← 129.17 m →
16 681 m²		 S 64.981682°
E 97.805786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771678924560547 y=0.739635467529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771678924560547 × 217)
    floor (0.771678924560547 × 131072)
    floor (101145.5)     		tx = 101145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739635467529297 × 217)
    floor (0.739635467529297 × 131072)
    floor (96945.5)     		ty = 96945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101145 / 96945 ti = "17/101145/96945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101145/96945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101145 ÷ 217
    101145 ÷ 131072     		x = 0.771675109863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96945 ÷ 217
    96945 ÷ 131072     		y = 0.739631652832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771675109863281 × 2 - 1) × π
    0.543350219726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.70698506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739631652832031 × 2 - 1) × π
    -0.479263305664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.50565008016634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70698506} λ = 1.70698506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50565008016634))-π/2
    2×atan(0.221873011695203)-π/2
    2×0.218336144184935-π/2
    0.436672288369869-1.57079632675     		φ = -1.13412404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70698506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.803040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13412404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.980521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101145 KachelY 96945 1.70698506 -1.13412404 97.803040 -64.980521
    Oben rechts KachelX + 1 101146 KachelY 96945 1.70703300 -1.13412404 97.805786 -64.980521
    Unten links KachelX 101145 KachelY + 1 96946 1.70698506 -1.13414431 97.803040 -64.981682
    Unten rechts KachelX + 1 101146 KachelY + 1 96946 1.70703300 -1.13414431 97.805786 -64.981682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13412404--1.13414431) × R
    2.02699999998224e-05 × 6371000     		dl = 129.140169998868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13412404--1.13414431) × R
    2.02699999998224e-05 × 6371000     		dr = 129.140169998868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70698506-1.70703300) × cos(-1.13412404) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422926358210182 × 6371000     		do = 129.172595921765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70698506-1.70703300) × cos(-1.13414431) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422907990177893 × 6371000     		du = 129.166985851911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13412404)-sin(-1.13414431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422926358210182-0.422907990177893)×R²
    abs(1.70703300-1.70698506)×1.83680322886071e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83680322886071e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83680322886071e-05×40589641000000     		ar = 16681.0087545237m²