Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101143 / 98743
↖ ↑ ↗
← S 66.989183°
E 97.797546°		 ← 119.39 m → S 66.989183°
E 97.800293°		 →
↑
119.39 m
↓
↑
119.39 m
↓
S 66.990256°
E 97.797546°		 ← 119.39 m →
14 254 m²		 S 66.990256°
E 97.800293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771663665771484 y=0.753353118896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771663665771484 × 217)
    floor (0.771663665771484 × 131072)
    floor (101143.5)     		tx = 101143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753353118896484 × 217)
    floor (0.753353118896484 × 131072)
    floor (98743.5)     		ty = 98743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101143 / 98743 ti = "17/101143/98743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101143/98743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101143 ÷ 217
    101143 ÷ 131072     		x = 0.771659851074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98743 ÷ 217
    98743 ÷ 131072     		y = 0.753349304199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771659851074219 × 2 - 1) × π
    0.543319702148438 × 3.1415926535     		Λ = 1.70688918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753349304199219 × 2 - 1) × π
    -0.506698608398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.5918406256832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70688918} λ = 1.70688918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5918406256832))-π/2
    2×atan(0.203550606244034)-π/2
    2×0.20080726152888-π/2
    0.40161452305776-1.57079632675     		φ = -1.16918180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70688918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.797546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16918180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.989183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101143 KachelY 98743 1.70688918 -1.16918180 97.797546 -66.989183
    Oben rechts KachelX + 1 101144 KachelY 98743 1.70693712 -1.16918180 97.800293 -66.989183
    Unten links KachelX 101143 KachelY + 1 98744 1.70688918 -1.16920054 97.797546 -66.990256
    Unten rechts KachelX + 1 101144 KachelY + 1 98744 1.70693712 -1.16920054 97.800293 -66.990256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16918180--1.16920054) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dl = 119.392540000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16918180--1.16920054) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dr = 119.392540000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70688918-1.70693712) × cos(-1.16918180) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.390904911769485 × 6371000     		do = 119.392421947304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70688918-1.70693712) × cos(-1.16920054) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.390887662822641 × 6371000     		du = 119.38715367495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16918180)-sin(-1.16920054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390904911769485-0.390887662822641)×R²
    abs(1.70693712-1.70688918)×1.72489468437953e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.72489468437953e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.72489468437953e-05×40589641000000     		ar = 14254.2500172013m²