Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101140 / 98068
↖ ↑ ↗
← S 66.253587°
E 97.789306°		 ← 122.99 m → S 66.253587°
E 97.792053°		 →
↑
123.02 m
↓
↑
123.02 m
↓
S 66.254694°
E 97.789306°		 ← 122.99 m →
15 131 m²		 S 66.254694°
E 97.792053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771640777587891 y=0.748203277587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771640777587891 × 217)
    floor (0.771640777587891 × 131072)
    floor (101140.5)     		tx = 101140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748203277587891 × 217)
    floor (0.748203277587891 × 131072)
    floor (98068.5)     		ty = 98068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101140 / 98068 ti = "17/101140/98068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101140/98068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101140 ÷ 217
    101140 ÷ 131072     		x = 0.771636962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98068 ÷ 217
    98068 ÷ 131072     		y = 0.748199462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771636962890625 × 2 - 1) × π
    0.54327392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70674537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748199462890625 × 2 - 1) × π
    -0.49639892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55948321843967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70674537} λ = 1.70674537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55948321843967))-π/2
    2×atan(0.21024469371216)-π/2
    2×0.207226541184291-π/2
    0.414453082368581-1.57079632675     		φ = -1.15634324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70674537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.789306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15634324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.253587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101140 KachelY 98068 1.70674537 -1.15634324 97.789306 -66.253587
    Oben rechts KachelX + 1 101141 KachelY 98068 1.70679331 -1.15634324 97.792053 -66.253587
    Unten links KachelX 101140 KachelY + 1 98069 1.70674537 -1.15636255 97.789306 -66.254694
    Unten rechts KachelX + 1 101141 KachelY + 1 98069 1.70679331 -1.15636255 97.792053 -66.254694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15634324--1.15636255) × R
    1.93100000001056e-05 × 6371000     		dl = 123.024010000673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15634324--1.15636255) × R
    1.93100000001056e-05 × 6371000     		dr = 123.024010000673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70674537-1.70679331) × cos(-1.15634324) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402689380910807 × 6371000     		do = 122.991702154745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70674537-1.70679331) × cos(-1.15636255) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40267170568418 × 6371000     		du = 122.986303685572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15634324)-sin(-1.15636255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402689380910807-0.40267170568418)×R²
    abs(1.70679331-1.70674537)×1.76752266274893e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76752266274893e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76752266274893e-05×40589641000000     		ar = 15130.6003255693m²