Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101138 / 98066
↖ ↑ ↗
← S 66.251376°
E 97.783813°		 ← 123 m → S 66.251376°
E 97.786560°		 →
↑
122.96 m
↓
↑
122.96 m
↓
S 66.252482°
E 97.783813°		 ← 123 m →
15 124 m²		 S 66.252482°
E 97.786560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771625518798828 y=0.748188018798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771625518798828 × 217)
    floor (0.771625518798828 × 131072)
    floor (101138.5)     		tx = 101138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748188018798828 × 217)
    floor (0.748188018798828 × 131072)
    floor (98066.5)     		ty = 98066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101138 / 98066 ti = "17/101138/98066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101138/98066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101138 ÷ 217
    101138 ÷ 131072     		x = 0.771621704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98066 ÷ 217
    98066 ÷ 131072     		y = 0.748184204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771621704101562 × 2 - 1) × π
    0.543243408203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70664950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748184204101562 × 2 - 1) × π
    -0.496368408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55938734464043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70664950} λ = 1.70664950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55938734464043))-π/2
    2×atan(0.210264851636009)-π/2
    2×0.207245845711562-π/2
    0.414491691423124-1.57079632675     		φ = -1.15630464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70664950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.783813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15630464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.251376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101138 KachelY 98066 1.70664950 -1.15630464 97.783813 -66.251376
    Oben rechts KachelX + 1 101139 KachelY 98066 1.70669744 -1.15630464 97.786560 -66.251376
    Unten links KachelX 101138 KachelY + 1 98067 1.70664950 -1.15632394 97.783813 -66.252482
    Unten rechts KachelX + 1 101139 KachelY + 1 98067 1.70669744 -1.15632394 97.786560 -66.252482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15630464--1.15632394) × R
    1.92999999999444e-05 × 6371000     		dl = 122.960299999646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15630464--1.15632394) × R
    1.92999999999444e-05 × 6371000     		dr = 122.960299999646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70664950-1.70669744) × cos(-1.15630464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402724712607173 × 6371000     		do = 123.002493364252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70664950-1.70669744) × cos(-1.15632394) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402707046833992 × 6371000     		du = 122.997097782406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15630464)-sin(-1.15632394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402724712607173-0.402707046833992)×R²
    abs(1.70669744-1.70664950)×1.76657731805197e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76657731805197e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76657731805197e-05×40589641000000     		ar = 15124.0917639274m²