Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101136 / 97813
↖ ↑ ↗
← S 65.969970°
E 97.778321°		 ← 124.35 m → S 65.969970°
E 97.781067°		 →
↑
124.36 m
↓
↑
124.36 m
↓
S 65.971088°
E 97.778321°		 ← 124.34 m →
15 464 m²		 S 65.971088°
E 97.781067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771610260009766 y=0.746257781982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771610260009766 × 217)
    floor (0.771610260009766 × 131072)
    floor (101136.5)     		tx = 101136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746257781982422 × 217)
    floor (0.746257781982422 × 131072)
    floor (97813.5)     		ty = 97813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101136 / 97813 ti = "17/101136/97813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101136/97813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101136 ÷ 217
    101136 ÷ 131072     		x = 0.7716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97813 ÷ 217
    97813 ÷ 131072     		y = 0.746253967285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7716064453125 × 2 - 1) × π
    0.543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70655363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746253967285156 × 2 - 1) × π
    -0.492507934570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.54725930903655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70655363} λ = 1.70655363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54725930903655))-π/2
    2×atan(0.212830477797687)-π/2
    2×0.209701571115927-π/2
    0.419403142231854-1.57079632675     		φ = -1.15139318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70655363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.778321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15139318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.969970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101136 KachelY 97813 1.70655363 -1.15139318 97.778321 -65.969970
    Oben rechts KachelX + 1 101137 KachelY 97813 1.70660156 -1.15139318 97.781067 -65.969970
    Unten links KachelX 101136 KachelY + 1 97814 1.70655363 -1.15141270 97.778321 -65.971088
    Unten rechts KachelX + 1 101137 KachelY + 1 97814 1.70660156 -1.15141270 97.781067 -65.971088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15139318--1.15141270) × R
    1.95200000001616e-05 × 6371000     		dl = 124.36192000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15139318--1.15141270) × R
    1.95200000001616e-05 × 6371000     		dr = 124.36192000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70655363-1.70660156) × cos(-1.15139318) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407215400402342 × 6371000     		do = 124.348121314198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70655363-1.70660156) × cos(-1.15141270) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407197572081179 × 6371000     		du = 124.342677221856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15139318)-sin(-1.15141270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407215400402342-0.407197572081179)×R²
    abs(1.70660156-1.70655363)×1.78283211632047e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78283211632047e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78283211632047e-05×40589641000000     		ar = 15463.8325968865m²