Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101134 / 98594
↖ ↑ ↗
← S 66.828682°
E 97.772827°		 ← 120.18 m → S 66.828682°
E 97.775574°		 →
↑
120.16 m
↓
↑
120.16 m
↓
S 66.829762°
E 97.772827°		 ← 120.17 m →
14 440 m²		 S 66.829762°
E 97.775574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771595001220703 y=0.752216339111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771595001220703 × 217)
    floor (0.771595001220703 × 131072)
    floor (101134.5)     		tx = 101134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752216339111328 × 217)
    floor (0.752216339111328 × 131072)
    floor (98594.5)     		ty = 98594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101134 / 98594 ti = "17/101134/98594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101134/98594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101134 ÷ 217
    101134 ÷ 131072     		x = 0.771591186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98594 ÷ 217
    98594 ÷ 131072     		y = 0.752212524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771591186523438 × 2 - 1) × π
    0.543182373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70645775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752212524414062 × 2 - 1) × π
    -0.504425048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58469802763982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70645775} λ = 1.70645775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58469802763982))-π/2
    2×atan(0.205009691030858)-π/2
    2×0.202207897055489-π/2
    0.404415794110977-1.57079632675     		φ = -1.16638053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70645775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.772827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16638053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.828682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101134 KachelY 98594 1.70645775 -1.16638053 97.772827 -66.828682
    Oben rechts KachelX + 1 101135 KachelY 98594 1.70650569 -1.16638053 97.775574 -66.828682
    Unten links KachelX 101134 KachelY + 1 98595 1.70645775 -1.16639939 97.772827 -66.829762
    Unten rechts KachelX + 1 101135 KachelY + 1 98595 1.70650569 -1.16639939 97.775574 -66.829762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16638053--1.16639939) × R
    1.88599999999539e-05 × 6371000     		dl = 120.157059999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16638053--1.16639939) × R
    1.88599999999539e-05 × 6371000     		dr = 120.157059999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70645775-1.70650569) × cos(-1.16638053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393481750597084 × 6371000     		do = 120.179454852531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70645775-1.70650569) × cos(-1.16639939) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393464411917525 × 6371000     		du = 120.174159173496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16638053)-sin(-1.16639939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393481750597084-0.393464411917525)×R²
    abs(1.70650569-1.70645775)×1.73386795591091e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73386795591091e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73386795591091e-05×40589641000000     		ar = 14440.0918111367m²