Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101133 / 98545
↖ ↑ ↗
← S 66.775669°
E 97.770081°		 ← 120.41 m → S 66.775669°
E 97.772827°		 →
↑
120.41 m
↓
↑
120.41 m
↓
S 66.776752°
E 97.770081°		 ← 120.41 m →
14 499 m²		 S 66.776752°
E 97.772827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771587371826172 y=0.751842498779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771587371826172 × 217)
    floor (0.771587371826172 × 131072)
    floor (101133.5)     		tx = 101133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751842498779297 × 217)
    floor (0.751842498779297 × 131072)
    floor (98545.5)     		ty = 98545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101133 / 98545 ti = "17/101133/98545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101133/98545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101133 ÷ 217
    101133 ÷ 131072     		x = 0.771583557128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98545 ÷ 217
    98545 ÷ 131072     		y = 0.751838684082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771583557128906 × 2 - 1) × π
    0.543167114257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.70640982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751838684082031 × 2 - 1) × π
    -0.503677368164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.58234911955843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70640982} λ = 1.70640982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58234911955843))-π/2
    2×atan(0.205491805951032)-π/2
    2×0.202670522541912-π/2
    0.405341045083824-1.57079632675     		φ = -1.16545528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70640982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.770081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16545528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.775669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101133 KachelY 98545 1.70640982 -1.16545528 97.770081 -66.775669
    Oben rechts KachelX + 1 101134 KachelY 98545 1.70645775 -1.16545528 97.772827 -66.775669
    Unten links KachelX 101133 KachelY + 1 98546 1.70640982 -1.16547418 97.770081 -66.776752
    Unten rechts KachelX + 1 101134 KachelY + 1 98546 1.70645775 -1.16547418 97.772827 -66.776752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16545528--1.16547418) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dl = 120.411899999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16545528--1.16547418) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dr = 120.411899999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70640982-1.70645775) × cos(-1.16545528) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394332194376704 × 6371000     		do = 120.414079369299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70640982-1.70645775) × cos(-1.16547418) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394314825811739 × 6371000     		du = 120.408775669043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16545528)-sin(-1.16547418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394332194376704-0.394314825811739)×R²
    abs(1.70645775-1.70640982)×1.73685649648703e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73685649648703e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73685649648703e-05×40589641000000     		ar = 14498.9687697107m²