Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101133 / 97812
↖ ↑ ↗
← S 65.968851°
E 97.770081°		 ← 124.35 m → S 65.968851°
E 97.772827°		 →
↑
124.36 m
↓
↑
124.36 m
↓
S 65.969970°
E 97.770081°		 ← 124.35 m →
15 465 m²		 S 65.969970°
E 97.772827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771587371826172 y=0.746250152587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771587371826172 × 217)
    floor (0.771587371826172 × 131072)
    floor (101133.5)     		tx = 101133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746250152587891 × 217)
    floor (0.746250152587891 × 131072)
    floor (97812.5)     		ty = 97812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101133 / 97812 ti = "17/101133/97812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101133/97812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101133 ÷ 217
    101133 ÷ 131072     		x = 0.771583557128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97812 ÷ 217
    97812 ÷ 131072     		y = 0.746246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771583557128906 × 2 - 1) × π
    0.543167114257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.70640982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746246337890625 × 2 - 1) × π
    -0.49249267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54721137213693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70640982} λ = 1.70640982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54721137213693))-π/2
    2×atan(0.212840680475478)-π/2
    2×0.209711331651381-π/2
    0.419422663302761-1.57079632675     		φ = -1.15137366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70640982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.770081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15137366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.968851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101133 KachelY 97812 1.70640982 -1.15137366 97.770081 -65.968851
    Oben rechts KachelX + 1 101134 KachelY 97812 1.70645775 -1.15137366 97.772827 -65.968851
    Unten links KachelX 101133 KachelY + 1 97813 1.70640982 -1.15139318 97.770081 -65.969970
    Unten rechts KachelX + 1 101134 KachelY + 1 97813 1.70645775 -1.15139318 97.772827 -65.969970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15137366--1.15139318) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dl = 124.361919999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15137366--1.15139318) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dr = 124.361919999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70640982-1.70645775) × cos(-1.15137366) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407233228568344 × 6371000     		do = 124.35356535916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70640982-1.70645775) × cos(-1.15139318) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407215400402342 × 6371000     		du = 124.348121314198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15137366)-sin(-1.15139318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407233228568344-0.407215400402342)×R²
    abs(1.70645775-1.70640982)×1.78281660015989e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78281660015989e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78281660015989e-05×40589641000000     		ar = 15464.5096312359m²