Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101133 / 97810
↖ ↑ ↗
← S 65.966615°
E 97.770081°		 ← 124.36 m → S 65.966615°
E 97.772827°		 →
↑
124.36 m
↓
↑
124.36 m
↓
S 65.967733°
E 97.770081°		 ← 124.36 m →
15 466 m²		 S 65.967733°
E 97.772827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771587371826172 y=0.746234893798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771587371826172 × 217)
    floor (0.771587371826172 × 131072)
    floor (101133.5)     		tx = 101133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746234893798828 × 217)
    floor (0.746234893798828 × 131072)
    floor (97810.5)     		ty = 97810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101133 / 97810 ti = "17/101133/97810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101133/97810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101133 ÷ 217
    101133 ÷ 131072     		x = 0.771583557128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97810 ÷ 217
    97810 ÷ 131072     		y = 0.746231079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771583557128906 × 2 - 1) × π
    0.543167114257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.70640982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746231079101562 × 2 - 1) × π
    -0.492462158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54711549833769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70640982} λ = 1.70640982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54711549833769))-π/2
    2×atan(0.212861087298372)-π/2
    2×0.209730854004336-π/2
    0.419461708008673-1.57079632675     		φ = -1.15133462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70640982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.770081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15133462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.966615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101133 KachelY 97810 1.70640982 -1.15133462 97.770081 -65.966615
    Oben rechts KachelX + 1 101134 KachelY 97810 1.70645775 -1.15133462 97.772827 -65.966615
    Unten links KachelX 101133 KachelY + 1 97811 1.70640982 -1.15135414 97.770081 -65.967733
    Unten rechts KachelX + 1 101134 KachelY + 1 97811 1.70645775 -1.15135414 97.772827 -65.967733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15133462--1.15135414) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dl = 124.361919999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15133462--1.15135414) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dr = 124.361919999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70640982-1.70645775) × cos(-1.15133462) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407268884434835 × 6371000     		do = 124.364453306933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70640982-1.70645775) × cos(-1.15135414) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407251056579177 × 6371000     		du = 124.359009356738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15133462)-sin(-1.15135414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407268884434835-0.407251056579177)×R²
    abs(1.70645775-1.70640982)×1.78278556583478e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78278556583478e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78278556583478e-05×40589641000000     		ar = 15465.8636835194m²