Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101131 / 97814
↖ ↑ ↗
← S 65.971088°
E 97.764587°		 ← 124.37 m → S 65.971088°
E 97.767334°		 →
↑
124.36 m
↓
↑
124.36 m
↓
S 65.972207°
E 97.764587°		 ← 124.36 m →
15 466 m²		 S 65.972207°
E 97.767334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771572113037109 y=0.746265411376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771572113037109 × 217)
    floor (0.771572113037109 × 131072)
    floor (101131.5)     		tx = 101131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746265411376953 × 217)
    floor (0.746265411376953 × 131072)
    floor (97814.5)     		ty = 97814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101131 / 97814 ti = "17/101131/97814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101131/97814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101131 ÷ 217
    101131 ÷ 131072     		x = 0.771568298339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97814 ÷ 217
    97814 ÷ 131072     		y = 0.746261596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771568298339844 × 2 - 1) × π
    0.543136596679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.70631394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746261596679688 × 2 - 1) × π
    -0.492523193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54730724593617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70631394} λ = 1.70631394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54730724593617))-π/2
    2×atan(0.212820275608969)-π/2
    2×0.209691811007803-π/2
    0.419383622015605-1.57079632675     		φ = -1.15141270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70631394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.764587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15141270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.971088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101131 KachelY 97814 1.70631394 -1.15141270 97.764587 -65.971088
    Oben rechts KachelX + 1 101132 KachelY 97814 1.70636188 -1.15141270 97.767334 -65.971088
    Unten links KachelX 101131 KachelY + 1 97815 1.70631394 -1.15143222 97.764587 -65.972207
    Unten rechts KachelX + 1 101132 KachelY + 1 97815 1.70636188 -1.15143222 97.767334 -65.972207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15141270--1.15143222) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dl = 124.361919999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15141270--1.15143222) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dr = 124.361919999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70631394-1.70636188) × cos(-1.15141270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407197572081179 × 6371000     		do = 124.368619779016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70631394-1.70636188) × cos(-1.15143222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407179743604861 × 6371000     		du = 124.363174503443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15141270)-sin(-1.15143222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407197572081179-0.407179743604861)×R²
    abs(1.70636188-1.70631394)×1.7828476317705e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7828476317705e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7828476317705e-05×40589641000000     		ar = 15466.3817514313m²