Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101130 / 99078
↖ ↑ ↗
← S 67.346209°
E 97.761841°		 ← 117.61 m → S 67.346209°
E 97.764587°		 →
↑
117.67 m
↓
↑
117.67 m
↓
S 67.347267°
E 97.761841°		 ← 117.61 m →
13 840 m²		 S 67.347267°
E 97.764587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771564483642578 y=0.755908966064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771564483642578 × 217)
    floor (0.771564483642578 × 131072)
    floor (101130.5)     		tx = 101130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755908966064453 × 217)
    floor (0.755908966064453 × 131072)
    floor (99078.5)     		ty = 99078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101130 / 99078 ti = "17/101130/99078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101130/99078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101130 ÷ 217
    101130 ÷ 131072     		x = 0.771560668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99078 ÷ 217
    99078 ÷ 131072     		y = 0.755905151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771560668945312 × 2 - 1) × π
    0.543121337890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70626601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755905151367188 × 2 - 1) × π
    -0.511810302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60789948705592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70626601} λ = 1.70626601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60789948705592))-π/2
    2×atan(0.200307921872316)-π/2
    2×0.197691621033127-π/2
    0.395383242066254-1.57079632675     		φ = -1.17541308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70626601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.761841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17541308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.346209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101130 KachelY 99078 1.70626601 -1.17541308 97.761841 -67.346209
    Oben rechts KachelX + 1 101131 KachelY 99078 1.70631394 -1.17541308 97.764587 -67.346209
    Unten links KachelX 101130 KachelY + 1 99079 1.70626601 -1.17543155 97.761841 -67.347267
    Unten rechts KachelX + 1 101131 KachelY + 1 99079 1.70631394 -1.17543155 97.764587 -67.347267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17541308--1.17543155) × R
    1.84700000001037e-05 × 6371000     		dl = 117.672370000661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17541308--1.17543155) × R
    1.84700000001037e-05 × 6371000     		dr = 117.672370000661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70626601-1.70631394) × cos(-1.17541308) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.38516189601463 × 6371000     		do = 117.613818445748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70626601-1.70631394) × cos(-1.17543155) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.385144850927533 × 6371000     		du = 117.608613523351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17541308)-sin(-1.17543155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38516189601463-0.385144850927533)×R²
    abs(1.70631394-1.70626601)×1.70450870972116e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70450870972116e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70450870972116e-05×40589641000000     		ar = 13839.5905239796m²